2. Riešenie sústav rovníc maticovou metódou (pomocou inverznej matice).
3. Gaussova metóda riešenia sústav rovníc.

Cramerova metóda.

Cramerova metóda sa používa na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc ( SLAU).

Vzorce na príklade sústavy dvoch rovníc s dvoma premennými.
Vzhľadom na to: Vyriešte systém Cramerovou metódou

Čo sa týka premenných X A pri.
Riešenie:
Nájdite determinant matice, zloženú z koeficientov systému Výpočet determinantov. :

Aplikujme Cramerove vzorce a nájdime hodnoty premenných:
A .
Príklad 1:
Vyriešte sústavu rovníc:

ohľadom premenných X A pri.
Riešenie:


Nahraďme prvý stĺpec v tomto determinante stĺpcom koeficientov z pravej strany systému a nájdime jeho hodnotu:

Urobme podobnú vec a nahradíme druhý stĺpec v prvom determinante:

Použiteľné Cramerove vzorce a nájdite hodnoty premenných:
A .
odpoveď:
komentár: Táto metóda môže riešiť systémy vyšších dimenzií.

komentár: Ak sa ukáže, že , ale nedá sa vydeliť nulou, potom hovoria, že systém nemá jedinečné riešenie. V tomto prípade má systém buď nekonečne veľa riešení, alebo nemá žiadne riešenia.

Príklad 2(nekonečné množstvo riešení):

Vyriešte sústavu rovníc:

ohľadom premenných X A pri.
Riešenie:
Nájdite determinant matice zloženej z koeficientov systému:

Riešenie systémov substitučnou metódou.

Prvá z rovníc systému je rovnosť, ktorá platí pre všetky hodnoty premenných (pretože 4 sa vždy rovná 4). To znamená, že zostáva len jedna rovnica. Toto je rovnica vzťahu medzi premennými.
Zistili sme, že riešením systému je ľubovoľný pár hodnôt premenných, ktoré sú navzájom spojené rovnosťou.
Všeobecné riešenie bude napísané takto:
Jednotlivé riešenia možno určiť výberom ľubovoľnej hodnoty y a výpočtom x z tejto rovnosti spojenia.

atď.
Takýchto riešení je nekonečne veľa.
odpoveď: spoločné rozhodnutie
Súkromné ​​riešenia:

Príklad 3(žiadne riešenia, systém je nekompatibilný):

Vyriešte sústavu rovníc:

Riešenie:
Nájdite determinant matice zloženej z koeficientov systému:

Cramerove vzorce nemožno použiť. Vyriešme tento systém pomocou substitučnej metódy

Druhá rovnica systému je rovnosť, ktorá neplatí pre žiadne hodnoty premenných (samozrejme, pretože -15 sa nerovná 2). Ak jedna z rovníc systému neplatí pre žiadne hodnoty premenných, potom celý systém nemá riešenia.
odpoveď:žiadne riešenia

Gabriel Kramer je švajčiarsky matematik, študent a priateľ Johanna Bernoulliho, jedného z tvorcov lineárnej algebry. Cramer uvažoval o systéme ľubovoľného počtu lineárnych rovníc so štvorcovou maticou. Riešenie sústavy prezentoval ako stĺpec zlomkov so spoločným menovateľom – determinantom matice. Cramerova metóda je založená na použití determinantov pri riešení sústav lineárnych rovníc, čo výrazne urýchľuje proces riešenia. Táto metóda môže byť použitá na riešenie systému toľkých lineárnych rovníc, koľko je neznámych v každej rovnici. Hlavná vec je, že determinant systému sa nerovná „0“, potom sa v riešení môže použiť Cramerova metóda, ak „0“ - túto metódu nemožno použiť. Túto metódu je možné použiť aj na riešenie sústav lineárnych rovníc s jedinečným riešením.

Cramerova veta. Ak je determinant systému nenulový, potom systém lineárnych rovníc má jedno jedinečné riešenie a neznáma sa rovná pomeru determinantov. Menovateľ obsahuje determinant systému a čitateľ obsahuje determinant získaný z determinantu systému nahradením koeficientov tejto neznámej voľnými členmi. Táto veta platí pre sústavu lineárnych rovníc ľubovoľného rádu.

Predpokladajme, že dostaneme SLAE tohto typu:

\[\left\(\začiatok(matica) 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \koniec(matica)\vpravo.\]

Podľa Cramerovej vety dostaneme:

Odpoveď: \

Kde môžem vyriešiť rovnicu Cramerovou metódou pomocou online riešiteľa?

Rovnicu môžete vyriešiť na našej webovej stránke https://site. Bezplatný online riešiteľ vám umožní vyriešiť online rovnice akejkoľvek zložitosti v priebehu niekoľkých sekúnd. Všetko, čo musíte urobiť, je jednoducho zadať svoje údaje do riešiteľa. Na našej stránke si môžete pozrieť aj video návod a naučiť sa riešiť rovnicu. A ak máte stále otázky, môžete sa ich opýtať v našej skupine VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridajte sa do našej skupiny, vždy vám radi pomôžeme.

V prvej časti sme sa pozreli na nejaký teoretický materiál, substitučnú metódu, ako aj metódu sčítania po členoch systémových rovníc. Odporúčam každému, kto sa na stránku dostal cez túto stránku, aby si prečítal prvú časť. Možno sa niektorým návštevníkom bude zdať látka príliš jednoduchá, ale v procese riešenia sústav lineárnych rovníc som vyslovil množstvo veľmi dôležitých pripomienok a záverov týkajúcich sa riešenia matematických úloh vo všeobecnosti.

Teraz budeme analyzovať Cramerovo pravidlo, ako aj riešenie systému lineárnych rovníc pomocou inverznej matice (maticová metóda). Všetky materiály sú prezentované jednoducho, podrobne a jasne, takmer všetci čitatelia sa budú môcť naučiť riešiť systémy pomocou vyššie uvedených metód.

Najprv sa bližšie pozrieme na Cramerovo pravidlo pre sústavu dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych. Prečo? – Veď najjednoduchší systém sa dá vyriešiť školskou metódou, metódou sčítania po semestri!

Faktom je, že aj keď niekedy sa takáto úloha vyskytne - vyriešiť systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi pomocou Cramerových vzorcov. Po druhé, jednoduchší príklad vám pomôže pochopiť, ako použiť Cramerovo pravidlo pre zložitejší prípad – systém troch rovníc s tromi neznámymi.

Okrem toho existujú systémy lineárnych rovníc s dvoma premennými, ktoré je vhodné riešiť pomocou Cramerovho pravidla!

Zvážte sústavu rovníc

V prvom kroku vypočítame determinant, tzv hlavný determinant systému.

Gaussova metóda.

Ak , potom má systém jedinečné riešenie a na nájdenie koreňov musíme vypočítať ďalšie dva determinanty:
A

V praxi môžu byť vyššie uvedené kvalifikátory označené aj latinkou.

Korene rovnice nájdeme pomocou vzorcov:
,

Príklad 7

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Riešenie: Vidíme, že koeficienty rovnice sú dosť veľké, na pravej strane sú desatinné zlomky s čiarkou. Čiarka je pomerne zriedkavým hosťom v praktických úlohách z matematiky, tento systém som prevzal z ekonometrickej úlohy.

Ako vyriešiť takýto systém? Môžete sa pokúsiť vyjadriť jednu premennú pomocou druhej, ale v tomto prípade pravdepodobne skončíte s hroznými ozdobnými zlomkami, s ktorými je mimoriadne nepohodlné pracovať a návrh riešenia bude vyzerať jednoducho hrozne. Môžete vynásobiť druhú rovnicu 6 a odčítať člen po člene, ale aj tu vzniknú rovnaké zlomky.

Čo robiť? V takýchto prípadoch prichádzajú na pomoc Cramerove vzorce.

;

;

Odpoveď: ,

Oba korene majú nekonečné chvosty a nachádzajú sa približne, čo je celkom prijateľné (a dokonca bežné) pre problémy ekonometrie.

Komentáre tu nie sú potrebné, pretože úloha sa rieši pomocou hotových vzorcov, je tu však jedno upozornenie. Pri použití tejto metódy povinné Fragment návrhu úlohy je nasledujúci fragment: „To znamená, že systém má jedinečné riešenie“. V opačnom prípade vás recenzent môže potrestať za nerešpektovanie Cramerovej vety.

Nebolo by zbytočné kontrolovať, čo sa dá pohodlne vykonať na kalkulačke: na ľavú stranu každej rovnice systému dosadíme približné hodnoty. Výsledkom je, že s malou chybou by ste mali dostať čísla, ktoré sú na správnych stranách.

Príklad 8

Prezentujte odpoveď v obyčajných nesprávnych zlomkoch. Vykonajte kontrolu.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami (príklad konečného návrhu a odpoveď na konci hodiny).

Prejdime k Cramerovmu pravidlu pre systém troch rovníc s tromi neznámymi:

Nájdeme hlavný determinant systému:

Ak , potom systém má nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný (nemá žiadne riešenia). V tomto prípade Cramerovo pravidlo nepomôže, musíte použiť Gaussovu metódu.

Ak , potom má systém jedinečné riešenie a na nájdenie koreňov musíme vypočítať ďalšie tri determinanty:
, ,

A nakoniec sa odpoveď vypočíta pomocou vzorcov:

Ako vidíte, prípad „tri po troch“ sa v zásade nelíši od prípadu „dva po dvoch“; stĺpec voľných výrazov sa postupne „prechádza“ zľava doprava pozdĺž stĺpcov hlavného determinantu.

Príklad 9

Vyriešte systém pomocou Cramerových vzorcov.

Riešenie: Riešime sústavu pomocou Cramerových vzorcov.

, čo znamená, že systém má jedinečné riešenie.

Odpoveď: .

V skutočnosti tu opäť nie je nič zvláštne na komentár, pretože riešenie sa riadi hotovými vzorcami. Existuje však niekoľko pripomienok.

Stáva sa, že v dôsledku výpočtov sa získajú „zlé“ neredukovateľné frakcie, napríklad: .
Odporúčam nasledujúci „liečebný“ algoritmus. Ak nemáte po ruke počítač, postupujte takto:

1) Vo výpočtoch môže byť chyba. Akonáhle narazíte na „zlý“ zlomok, musíte okamžite skontrolovať Je podmienka prepísaná správne?. Ak je podmienka prepísaná bez chýb, potom je potrebné prepočítať determinanty pomocou rozšírenia v inom riadku (stĺpci).

2) Ak sa v dôsledku kontroly nezistia žiadne chyby, pravdepodobne došlo k preklepu v podmienkach úlohy. V tomto prípade pokojne a OPATRNE prepracujte úlohu až do konca a potom určite skontrolujte a po rozhodnutí to vypíšeme na čistý list. Samozrejme, kontrola zlomkovej odpovede je nepríjemná úloha, ale bude to odzbrojujúci argument pre učiteľa, ktorý veľmi rád dá mínus za každú hovadinu typu . Ako narábať so zlomkami je podrobne popísané v odpovedi na príklad 8.

Ak máte po ruke počítač, potom na kontrolu použite automatizovaný program, ktorý si môžete zadarmo stiahnuť hneď na začiatku lekcie. Mimochodom, najvýhodnejšie je použiť program hneď (ešte pred spustením riešenia), okamžite uvidíte medzikrok, kde ste urobili chybu! Rovnaká kalkulačka automaticky vypočíta riešenie sústavy pomocou maticovej metódy.

Druhá poznámka. Z času na čas existujú systémy, v ktorých rovnice niektoré premenné chýbajú, napr.

Tu v prvej rovnici nie je žiadna premenná, v druhej nie je žiadna premenná. V takýchto prípadoch je veľmi dôležité správne a POZORNE zapísať hlavný determinant:
– namiesto chýbajúcich premenných sa umiestnia nuly.
Mimochodom, je racionálne otvárať determinanty s nulami podľa riadku (stĺpca), v ktorom je nula umiestnená, pretože existuje výrazne menej výpočtov.

Príklad 10

Vyriešte systém pomocou Cramerových vzorcov.

Toto je príklad samostatného riešenia (ukážka konečného návrhu a odpoveď na konci hodiny).

V prípade systému 4 rovníc so 4 neznámymi sú Cramerove vzorce napísané podľa podobných princípov. Živý príklad si môžete pozrieť v lekcii Vlastnosti determinantov. Zmenšenie poradia determinantu – päť determinantov 4. rádu je celkom riešiteľných. Hoci úloha už veľmi pripomína profesorskú topánku na hrudi šťastného študenta.

Riešenie sústavy pomocou inverznej matice

Metóda inverznej matice je v podstate špeciálny prípad maticová rovnica(Pozri príklad č. 3 uvedenej lekcie).

Ak chcete študovať túto časť, musíte byť schopní rozšíriť determinanty, nájsť inverznú hodnotu matice a vykonať násobenie matice. Príslušné odkazy budú poskytnuté v priebehu vysvetlení.

Príklad 11

Riešte sústavu maticovou metódou

Riešenie: Napíšme systém v maticovom tvare:
, Kde

Pozrite si systém rovníc a matíc. Myslím, že každý chápe princíp, akým zapisujeme prvky do matíc. Jediná poznámka: ak by v rovniciach chýbali nejaké premenné, museli by sa na zodpovedajúce miesta v matici umiestniť nuly.

Inverznú maticu nájdeme pomocou vzorca:
, kde je transponovaná matica algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov matice.

Najprv sa pozrime na determinant:

Tu je determinant rozšírený na prvom riadku.

Pozor! Ak , potom inverzná matica neexistuje a systém nie je možné vyriešiť maticovou metódou. V tomto prípade je systém riešený metódou eliminácie neznámych (Gaussova metóda).

Teraz musíme vypočítať 9 maloletých a zapísať ich do matice maloletých

Referencia: Je užitočné poznať význam dvojitých indexov v lineárnej algebre. Prvá číslica je číslo riadku, v ktorom sa prvok nachádza. Druhá číslica je číslo stĺpca, v ktorom sa prvok nachádza:

To znamená, že dvojitý dolný index označuje, že prvok je v prvom riadku, treťom stĺpci a napríklad prvok je v 3 riadkoch, 2 stĺpcoch

Aby ste zvládli tento odsek, musíte byť schopní odhaliť determinanty „dva po dvoch“ a „tri po troch“. Ak ste zlí s kvalifikáciami, preštudujte si lekciu Ako vypočítať determinant?

Najprv sa bližšie pozrieme na Cramerovo pravidlo pre sústavu dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych. Prečo? – Veď najjednoduchší systém sa dá vyriešiť školskou metódou, metódou sčítania po semestri!

Faktom je, že aj keď niekedy sa takáto úloha vyskytne - vyriešiť systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi pomocou Cramerových vzorcov. Po druhé, jednoduchší príklad vám pomôže pochopiť, ako použiť Cramerovo pravidlo pre zložitejší prípad – systém troch rovníc s tromi neznámymi.

Okrem toho existujú systémy lineárnych rovníc s dvoma premennými, ktoré je vhodné riešiť pomocou Cramerovho pravidla!

Zvážte sústavu rovníc

V prvom kroku vypočítame determinant, tzv hlavný determinant systému.

Gaussova metóda.

Ak , potom má systém jedinečné riešenie a na nájdenie koreňov musíme vypočítať ďalšie dva determinanty:
A

V praxi môžu byť vyššie uvedené kvalifikátory označené aj latinkou.

Korene rovnice nájdeme pomocou vzorcov:
,

Príklad 7

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Riešenie: Vidíme, že koeficienty rovnice sú dosť veľké, na pravej strane sú desatinné zlomky s čiarkou. Čiarka je pomerne zriedkavým hosťom v praktických úlohách z matematiky, tento systém som prevzal z ekonometrickej úlohy.

Ako vyriešiť takýto systém? Môžete sa pokúsiť vyjadriť jednu premennú pomocou druhej, ale v tomto prípade pravdepodobne skončíte s hroznými ozdobnými zlomkami, s ktorými je mimoriadne nepohodlné pracovať a návrh riešenia bude vyzerať jednoducho hrozne. Môžete vynásobiť druhú rovnicu 6 a odčítať člen po člene, ale aj tu vzniknú rovnaké zlomky.

Čo robiť? V takýchto prípadoch prichádzajú na pomoc Cramerove vzorce.

;

;

Odpoveď: ,

Oba korene majú nekonečné chvosty a nachádzajú sa približne, čo je celkom prijateľné (a dokonca bežné) pre problémy ekonometrie.

Komentáre tu nie sú potrebné, pretože úloha sa rieši pomocou hotových vzorcov, je tu však jedno upozornenie. Pri použití tejto metódy povinné Fragment návrhu úlohy je nasledujúci fragment: „To znamená, že systém má jedinečné riešenie“. V opačnom prípade vás recenzent môže potrestať za nerešpektovanie Cramerovej vety.

Nebolo by zbytočné kontrolovať, čo sa dá pohodlne vykonať na kalkulačke: na ľavú stranu každej rovnice systému dosadíme približné hodnoty. Výsledkom je, že s malou chybou by ste mali dostať čísla, ktoré sú na správnych stranách.

Príklad 8

Prezentujte odpoveď v obyčajných nesprávnych zlomkoch. Vykonajte kontrolu.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami (príklad konečného návrhu a odpoveď na konci hodiny).

Prejdime k Cramerovmu pravidlu pre systém troch rovníc s tromi neznámymi:

Nájdeme hlavný determinant systému:

Ak , potom systém má nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný (nemá žiadne riešenia). V tomto prípade Cramerovo pravidlo nepomôže, musíte použiť Gaussovu metódu.

Ak , potom má systém jedinečné riešenie a na nájdenie koreňov musíme vypočítať ďalšie tri determinanty:
, ,

A nakoniec sa odpoveď vypočíta pomocou vzorcov:

Ako vidíte, prípad „tri po troch“ sa v zásade nelíši od prípadu „dva po dvoch“; stĺpec voľných výrazov sa postupne „prechádza“ zľava doprava pozdĺž stĺpcov hlavného determinantu.

Príklad 9

Vyriešte systém pomocou Cramerových vzorcov.

Riešenie: Riešime sústavu pomocou Cramerových vzorcov.

, čo znamená, že systém má jedinečné riešenie.

Odpoveď: .

V skutočnosti tu opäť nie je nič zvláštne na komentár, pretože riešenie sa riadi hotovými vzorcami. Existuje však niekoľko pripomienok.

Stáva sa, že v dôsledku výpočtov sa získajú „zlé“ neredukovateľné frakcie, napríklad: .
Odporúčam nasledujúci „liečebný“ algoritmus. Ak nemáte po ruke počítač, postupujte takto:

1) Vo výpočtoch môže byť chyba. Akonáhle narazíte na „zlý“ zlomok, musíte okamžite skontrolovať Je podmienka prepísaná správne?. Ak je podmienka prepísaná bez chýb, potom je potrebné prepočítať determinanty pomocou rozšírenia v inom riadku (stĺpci).

2) Ak sa v dôsledku kontroly nezistia žiadne chyby, pravdepodobne došlo k preklepu v podmienkach úlohy. V tomto prípade pokojne a OPATRNE prepracujte úlohu až do konca a potom určite skontrolujte a po rozhodnutí to vypíšeme na čistý list. Samozrejme, kontrola zlomkovej odpovede je nepríjemná úloha, ale bude to odzbrojujúci argument pre učiteľa, ktorý veľmi rád dá mínus za každú hovadinu typu . Ako narábať so zlomkami je podrobne popísané v odpovedi na príklad 8.

Ak máte po ruke počítač, potom na kontrolu použite automatizovaný program, ktorý si môžete zadarmo stiahnuť hneď na začiatku lekcie. Mimochodom, najvýhodnejšie je použiť program hneď (ešte pred spustením riešenia), okamžite uvidíte medzikrok, kde ste urobili chybu! Rovnaká kalkulačka automaticky vypočíta riešenie sústavy pomocou maticovej metódy.

Druhá poznámka. Z času na čas existujú systémy, v ktorých rovnice niektoré premenné chýbajú, napr.

Tu v prvej rovnici nie je žiadna premenná, v druhej nie je žiadna premenná. V takýchto prípadoch je veľmi dôležité správne a POZORNE zapísať hlavný determinant:
– namiesto chýbajúcich premenných sa umiestnia nuly.
Mimochodom, je racionálne otvárať determinanty s nulami podľa riadku (stĺpca), v ktorom je nula umiestnená, pretože existuje výrazne menej výpočtov.

Príklad 10

Vyriešte systém pomocou Cramerových vzorcov.

Toto je príklad samostatného riešenia (ukážka konečného návrhu a odpoveď na konci hodiny).

V prípade systému 4 rovníc so 4 neznámymi sú Cramerove vzorce napísané podľa podobných princípov. Živý príklad si môžete pozrieť v lekcii Vlastnosti determinantov. Zmenšenie poradia determinantu – päť determinantov 4. rádu je celkom riešiteľných. Hoci úloha už veľmi pripomína profesorskú topánku na hrudi šťastného študenta.

Riešenie sústavy pomocou inverznej matice

Metóda inverznej matice je v podstate špeciálny prípad maticová rovnica(Pozri príklad č. 3 uvedenej lekcie).

Ak chcete študovať túto časť, musíte byť schopní rozšíriť determinanty, nájsť inverznú hodnotu matice a vykonať násobenie matice. Príslušné odkazy budú poskytnuté v priebehu vysvetlení.

Príklad 11

Riešte sústavu maticovou metódou

Riešenie: Napíšme systém v maticovom tvare:
, Kde

Pozrite si systém rovníc a matíc. Myslím, že každý chápe princíp, akým zapisujeme prvky do matíc. Jediná poznámka: ak by v rovniciach chýbali nejaké premenné, museli by sa na zodpovedajúce miesta v matici umiestniť nuly.

Inverznú maticu nájdeme pomocou vzorca:
, kde je transponovaná matica algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov matice.

Najprv sa pozrime na determinant:

Tu je determinant rozšírený na prvom riadku.

Pozor! Ak , potom inverzná matica neexistuje a systém nie je možné vyriešiť maticovou metódou. V tomto prípade je systém riešený metódou eliminácie neznámych (Gaussova metóda).

Teraz musíme vypočítať 9 maloletých a zapísať ich do matice maloletých

Referencia: Je užitočné poznať význam dvojitých indexov v lineárnej algebre. Prvá číslica je číslo riadku, v ktorom sa prvok nachádza. Druhá číslica je číslo stĺpca, v ktorom sa prvok nachádza:

To znamená, že dvojitý dolný index označuje, že prvok je v prvom riadku, treťom stĺpci a napríklad prvok je v 3 riadkoch, 2 stĺpcoch

Počas riešenia je lepšie podrobne popísať výpočet maloletých, aj keď s určitými skúsenosťami sa dá zvyknúť na ich výpočet s chybami ústne.

Cramerova metóda sa používa na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc (SLAE), v ktorých sa počet neznámych premenných rovná počtu rovníc a determinant hlavnej matice je nenulový. V tomto článku budeme analyzovať, ako sa pomocou Cramerovej metódy nachádzajú neznáme premenné a získame vzorce. Potom prejdime na príklady a podrobne popíšme riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou.

Navigácia na stránke.

Cramerova metóda – odvodzovanie vzorcov.

Potrebujeme vyriešiť sústavu lineárnych rovníc tvaru

Kde x 1, x 2, …, x n sú neznáme premenné, a i j, i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., n- číselné koeficienty, b 1, b 2, ..., b n - voľné členy. Riešením SLAE je taká množina hodnôt x 1 , x 2 , …, x n, pre ktorú sa všetky rovnice systému stávajú identitami.

V maticovom tvare možno tento systém zapísať ako A ⋅ X = B, kde - hlavná matica systému, jej prvkami sú koeficienty neznámych premenných, - matica je stĺpec voľných výrazov a - matica je stĺpec neznámych premenných. Po nájdení neznámych premenných x 1, x 2, …, x n sa matica stáva riešením sústavy rovníc a rovnosť A ⋅ X = B identitou.

Budeme predpokladať, že matica A je nesingulárna, to znamená, že jej determinant je nenulový. V tomto prípade má systém lineárnych algebraických rovníc jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť Cramerovou metódou. (Metódy riešenia systémov pre sú diskutované v časti riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc).

Cramerova metóda je založená na dvoch vlastnostiach maticového determinantu:

Začnime teda hľadať neznámu premennú x 1. Aby sme to dosiahli, vynásobíme obe časti prvej rovnice sústavy A 1 1, obe časti druhej rovnice A 2 1 atď., Obidve časti n-tej rovnice A n 1 (to znamená, vynásobte rovnice systému príslušnými algebraickými doplnkami prvého stĺpca matice A):

Sčítajme všetky ľavé strany systémovej rovnice, zoskupíme členy pre neznáme premenné x 1, x 2, ..., x n a prirovnáme tento súčet k súčtu všetkých pravých strán rovníc:

Ak sa obrátime na vyššie uvedené vlastnosti determinantu, máme

a predchádzajúca rovnosť má formu

kde

Podobne zistíme x 2. Aby sme to dosiahli, vynásobíme obe strany systémových rovníc algebraickými doplnkami druhého stĺpca matice A:

Spočítame všetky rovnice sústavy, zoskupíme členy pre neznáme premenné x 1, x 2, ..., x n a aplikujeme vlastnosti determinantu:

Kde
.

Zvyšné neznáme premenné sa nachádzajú podobne.

Ak určíme

Potom dostaneme vzorce na hľadanie neznámych premenných pomocou Cramerovej metódy .

Komentujte.

Ak je sústava lineárnych algebraických rovníc homogénna, tzn , potom má len triviálne riešenie (zavináč). Vskutku, pre nula voľných termínov, všetky determinanty sa budú rovnať nule, pretože budú obsahovať stĺpec nulových prvkov. Preto tie vzorce dá .

Algoritmus riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou.

Poďme si to zapísať algoritmus na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou.

Príklady riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou.

Pozrime sa na riešenia niekoľkých príkladov.

Príklad.

Nájdite riešenie nehomogénneho systému lineárnych algebraických rovníc pomocou Cramerovej metódy .

Riešenie.

Hlavná matica systému má tvar . Vypočítajme jej determinant pomocou vzorca :

Keďže determinant hlavnej matice systému je odlišný od nuly, SLAE má jedinečné riešenie a možno ho nájsť Cramerovou metódou. Zapíšme si determinanty a . Prvý stĺpec hlavnej matice systému nahradíme stĺpcom voľných členov a získame determinant . Podobne nahradíme druhý stĺpec hlavnej matice stĺpcom voľných členov a dostaneme .

Vypočítame tieto determinanty:

Nájdite neznáme premenné x 1 a x 2 pomocou vzorcov :

Skontrolujme to. Dosaďte získané hodnoty x 1 a x 2 do pôvodného systému rovníc:

Obe rovnice systému sa stávajú identitami, preto bolo riešenie nájdené správne.

odpoveď:

.

Niektoré prvky hlavnej matice SLAE sa môžu rovnať nule. V tomto prípade budú v systémových rovniciach chýbať zodpovedajúce neznáme premenné. Pozrime sa na príklad.

Príklad.

Nájdite riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou Cramerovej metódy .

Riešenie.

Prepíšme systém do formulára , takže hlavná matica systému bude viditeľná . Nájdite jeho determinant pomocou vzorca

Máme

Determinant hlavnej matice je nenulový, preto má systém lineárnych rovníc jedinečné riešenie. Poďme to nájsť pomocou Cramerovej metódy. Vypočítajme determinanty :

teda

odpoveď:

Označenia neznámych premenných v systémových rovniciach sa môžu líšiť od x 1, x 2, ..., x n. Toto nemá vplyv na proces rozhodovania. Ale poradie neznámych premenných v rovniciach systému je veľmi dôležité pri zostavovaní hlavnej matice a nevyhnutných determinantov Cramerovej metódy. Vysvetlime si tento bod na príklade.

Príklad.

Pomocou Cramerovej metódy nájdite riešenie systému troch lineárnych algebraických rovníc o troch neznámych .

Riešenie.

V tomto príklade majú neznáme premenné iný zápis (x, y a z namiesto x1, x2 a x3). Nemá to vplyv na riešenie, ale pozor na menovky. NEMOŽETE to brať ako hlavnú matricu systému . Najprv je potrebné usporiadať neznáme premenné vo všetkých rovniciach systému. Aby sme to dosiahli, prepíšeme systém rovníc ako . Teraz je jasne viditeľná hlavná matica systému . Vypočítajme jeho determinant:

Determinant hlavnej matice je nenulový, preto má systém rovníc jedinečné riešenie. Poďme to nájsť pomocou Cramerovej metódy. Zapíšme si determinanty (pozor na zápis) a vypočítajte ich:

Zostáva nájsť neznáme premenné pomocou vzorcov :

Skontrolujme to. Za týmto účelom vynásobte hlavnú maticu výsledným riešením (ak je to potrebné, pozri časť):

V dôsledku toho sme získali stĺpec voľných členov pôvodnej sústavy rovníc, takže riešenie bolo nájdené správne.

odpoveď:

x = 0, y = -2, z = 3.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou , kde a a b sú nejaké reálne čísla.

Riešenie.

odpoveď:

Príklad.

Nájdite riešenie sústavy rovníc Cramerovou metódou, - nejaké reálne číslo.

Riešenie.

Vypočítajme determinant hlavnej matice sústavy: . výraz je interval, teda pre akékoľvek reálne hodnoty. V dôsledku toho má systém rovníc jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť Cramerovou metódou. Vypočítame a: