Индивидуальный проект графическое решение уравнений и неравенств. Графическое решение неравенств. Решение систем нелинейных уравнений
Министерство образования и молодежной политики Ставропольского края
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
Георгиевский региональный колледж «Интеграл»
ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
По дисциплине « Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия»
На тему: “Графическое решение уравнений и неравенств”
Выполнил студент группы ПК-61, обучающийся по специальности
«Программирование в компьютерных системах»
Целлер Тимур Витальевич
Руководитель: преподаватель Серкова Н.А.
Дата сдачи: « » 2017г.
Дата защиты: « » 2017г.
Георгиевск 2017г.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
ЦЕЛЬ ПРОЕКТА:
Цель: Выяснить преимущества графического способа решения уравнений и неравенств.
Задачи:
Сравнить аналитический и графический способ решения уравнений и неравенств.
Ознакомиться в каких случаях графический способ имеет преимущества.
Рассмотреть решение уравнений с модулем и параметром.
Актуальность исследования: Анализ материала, посвящённого графическому решению уравнений и неравенств в учебных пособиях «Алгебра и начала математического анализа» разных авторов, учёт целей изучения данной темы. Атак же обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой.
Содержание
Введение
1. Уравнения с параметрами
1.1. Определения
1.2. Алгоритм решения
1.3. Примеры
2. Неравенства с параметрами
2.1. Определения
2.2. Алгоритм решения
2.3. Примеры
3. Применение графиков в решении уравнений
3.1. Графическое решение квадратного уравнения
3.2. Системы уравнений
3.3. Тригонометрические уравнения
4. Применение графиков в решении неравенств
5.Заключение
6. Список литературы
Введение
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.
Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.
В моём проекте рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем.
1. Уравнения с параметрами
Основные определения
Рассмотрим уравнение
(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1)
где a, b, c, …, k, x -переменные величины.
Любая система значений переменных
а = а 0 , b = b 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , x = x 0 ,
при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB, …, xX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.
Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.
Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.
Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.
Алгоритм решения
Находим область определения уравнения.
Выражаем a как функцию от х.
В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.
Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.
Записываем ответ.
Примеры
I. Решить уравнение
(1)
Решение.
Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а:
или
График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.
Если а (-;-1](1;+) , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.
Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение.
Если а , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и, получаем
и.
Если а , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.
Ответ:
Если а (-;-1](1;+), то;
Если а , то, ;
Если а , то решений нет.
II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет три различных корня.
Решение.
Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций, можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции, при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции.
В системе координат хОу построим график функции). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде
Поскольку график функции – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный, и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции. Поэтому находим производную
Ответ: .
III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
имеет решения.
Решение.
Из первого уравнения системы получим при Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.
Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители
Множеством точек плоскости, удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые
Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.
Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается
прямой), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то.
Случай касания “полупараболы” с прямой определим из условия существования единственного решения системы
В этом случае уравнение
имеет один корень, откуда находим:
Следовательно, исходная система не имеет решений при, а при или имеет хотя бы одно решение.
Ответ: а (-;-3] (;+).
IV. Решить уравнение
Решение.
Использовав равенство, заданное уравнение перепишем в виде
Это уравнение равносильно системе
Уравнение перепишем в виде
. (*)
Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций и Из графика следует, что при графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.
Если, то при графики функций совпадают и, следовательно, все значения являются решениями уравнения (*).
При графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой. Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение - .
Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям
Пусть, тогда. Система примет вид
Её решением будет промежуток х (1;5). Учитывая, что, можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.
На интеграле (1;+∞) опять получаем линейное неравенство 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.
Однако тот же самый результат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений. На рисунке 7 построены графики функций: y = f ( x )=| x -1|+| x +1| и y =4.
Рисунок 7.
На интеграле (-2;2) график функции y = f (x ) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f (x )<4 справедливо. Ответ:(-2;2)
II )Неравенства с параметрами.
Решение неравенств с одним или несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.
Например, неравенство √а+х+√а-х>4, содержащее параметр а, естественно, требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство √1+х + √1-х>1.
Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого, так как получается из него при значении а=1.
Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.
Пример1:
Решить неравенство |х-а|+|х+а|< b , a <>0.
Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.
Y = f (x )=| x - a |+| x + a | u y = b .
Очевидно, что при b <=2| a | прямая y = b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y =| x - a |+| x + a | и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b >2| a |, то прямая y = b пересекает график функции y = f (x ) в двух точках (- b /2; b ) u (b /2; b )(рисунок 6) и неравенство в этом случае справедливо при – b /2< x < b /2,так как при этих значениях переменной кривая y =| x + a |+| x - a | расположена под прямой y = b .
Ответ: Если b <=2| a | , то решений нет,
Если b >2| a |, то x €(- b /2; b /2).
III ) Тригонометрические неравенства:
При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно используется периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства. Функция sin x имеет положительный период 2π. Поэтому неравенства вида: sin x>a, sin x>=a,
sin x
Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке длины 2 π . Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2 π п, пЄ Z .
Пример 1: Решить неравенство sin x >-1/2.(рисунок 10)
Сначала решим это неравенство на отрезке[-π/2;3π/2]. Рассмотрим его левую часть – отрезок [-π/2;3π/2].Здесь уравнение sin x =-1/2 имеет одно решение х=-π/6; а функция sin x монотонно возрастает. Значит, если –π/2<= x <= -π/6, то sin x <= sin (- π /6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же –π/6<х<=π/2 то sin x > sin (-π/6) = –1/2. Все эти значения х не являются решениями неравенства.
На оставшемся отрезке [π/2;3π/2] функция sin x монотонно убывает и уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7π/6. Следовательно, если π/2<= x <7π/, то sin x > sin (7π/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются решениями неравенства. Для x Є имеем sin x <= sin (7π/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются. Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-π/2;3π/2] есть интеграл (-π/6;7π/6).
В силу периодичности функции sin x с периодом 2π значения х из любого интеграла вида: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄ Z , также являются решениями неравенства. Никакие другие значения х решениями этого неравенства не являются.
Ответ: -π/6+2π n < x <7π/6+2π n , где n Є Z .
Заключение
Мы рассмотрели графический метод решения уравнений и неравенств; рассмотрели конкретные примеры, при решении которых использовали такие свойства функций, как монотонность и четность. Анализ научной литературы, учебников математики позволил структурировать отобранный материал в соответствии с целями исследования, подобрать и разработать эффективные методы решения уравнений и неравенств. В работе представлен графический метод решения уравнений и неравенств и примеры, в которых используются данные методы. Результатом проекта можно считать творческие задания, как вспомогательный материал для развития навыка решения уравнений и неравенств графическим методом.
Список использованной литературы
Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.
Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.
Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.
Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.
Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.
Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.
Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Минск 1996 г.
Интернет ресурсы
Один из самых удобных методов решения квадратных неравенств – это графический метод. В этой статье мы разберем, как решаются квадратные неравенства графическим способом. Сначала обсудим, в чем суть этого способа. А дальше приведем алгоритм и рассмотрим примеры решения квадратных неравенств графическим способом.
Навигация по странице.
Суть графического способа
Вообще графический способ решения неравенств с одной переменной применяется не только для решения квадратных неравенств, но и неравенств других видов. Суть графического способа решения неравенств следующая: рассматривают функции y=f(x) и y=g(x) , которые соответствуют левой и правой частям неравенства, строят их графики в одной прямоугольной системе координат и выясняют, на каких промежутках график одной из них располагается ниже или выше другого. Те промежутки, на которых
- график функции f выше графика функции g являются решениями неравенства f(x)>g(x) ;
- график функции f не ниже графика функции g являются решениями неравенства f(x)≥g(x) ;
- график функции f
ниже графика функции g
являются решениями неравенства f(x)
- график функции f не выше графика функции g являются решениями неравенства f(x)≤g(x) .
Также скажем, что абсциссы точек пересечения графиков функций f и g являются решениями уравнения f(x)=g(x) .
Перенесем эти результаты на наш случай – для решения квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c<0 (≤, >, ≥).
Вводим две функции: первая y=a·x 2 +b·x+c (при этом f(x)=a·x 2 +b·x+c) отвечает левой части квадратного неравенства, вторая y=0 (при этом g(x)=0 ) отвечает правой части неравенства. Графиком квадратичной функции f является парабола, а графиком постоянной функции g – прямая, совпадающая с осью абсцисс Ox .
Дальше согласно графическому способу решения неравенств надо проанализировать, на каких промежутках график одной функции расположен выше или ниже другого, что позволит записать искомое решение квадратного неравенства. В нашем случае нужно проанализировать положение параболы относительно оси Ox .
В зависимости от значений коэффициентов a , b и c возможны следующие шесть вариантов (для наших нужд достаточно схематического изображения, и можно не изображать ось Oy , так как ее положение не влияет на решения неравенства):
- решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0
является (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞)
или в другой записи x
x 2 ; - решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c≥0 является (−∞, x 1 ]∪ или в другой записи x 1 ≤x≤x 2 ,
- решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 является (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) или в другой записи x≠x 0 ;
- решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c≥0 является (−∞, +∞) или в другой записи x∈R ;
- квадратное неравенство a·x 2 +b·x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
- квадратное неравенство a·x 2 +b·x+c≤0 имеет единственное решение x=x 0 (его дает точка касания),
На этом чертеже мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая пересекает ось Ox
в двух точках, абсциссы которых есть x 1
и x 2
. Этот чертеж отвечает варианту, когда коэффициент a – положительный (он отвечает за направленность вверх ветвей параболы), и когда положительно значение дискриминанта квадратного трехчлена
a·x 2 +b·x+c
(при этом трехчлен имеет два корня, которые мы обозначили как x 1
и x 2
, причем приняли, что x 1
Давайте для наглядности изобразим красным цветом части параболы, расположенные выше оси абсцисс, а синим цветом – расположенные ниже оси абсцисс.
Теперь выясним, какие промежутки этим частям соответствуют. Определить их поможет следующий чертеж (в дальнейшем подобные выделения в форме прямоугольников будем проводить мысленно):
Так на оси абсцисс оказались подсвечены красным цветом два промежутка (−∞, x 1) и (x 2 , +∞) , на них парабола выше оси Ox , они составляют решение квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , а синим цветом подсвечен промежуток (x 1 , x 2) , на нем парабола ниже оси Ox , он представляет собой решение неравенства a·x 2 +b·x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .
А теперь кратко: при a>0 и D=b 2 −4·a·c>0 (или D"=D/4>0 при четном коэффициенте b )
где x 1
и x 2
– корни квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c
, причем x 1 По чертежу отчетливо видно, что парабола расположена выше оси Ox всюду, кроме точки касания, то есть, на промежутках (−∞, x 0)
, (x 0 , ∞)
. Для наглядности выделим на чертеже области по аналогии с предыдущим пунктом. Делаем выводы: при a>0
и D=0
где x 0
- корень квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c
. Очевидно, парабола расположена выше оси Ox
на всем ее протяжении (нет интервалов, на которых она ниже оси Ox
, нет точки касания). Таким образом, при a>0
и D<0
решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0
и a·x 2 +b·x+c≥0
является множество всех действительных чисел, а неравенства a·x 2 +b·x+c<0
и a·x 2 +b·x+c≤0
не имеют решений.
Здесь мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая касается оси абсцисс, то есть, имеет с ней одну общую точку, обозначим абсциссу этой точки как x 0
. Представленному случаю отвечает a>0
(ветви направлены вверх) и D=0
(квадратный трехчлен имеет один корень x 0
). Для примера можно взять квадратичную функцию y=x 2 −4·x+4
, здесь a=1>0
, D=(−4) 2 −4·1·4=0
и x 0 =2
.
В этом случае ветви параболы направлены вверх, и она не имеет общих точек с осью абсцисс. Здесь мы имеем условия a>0
(ветви направлены вверх) и D<0
(квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1
, здесь a=2>0
, D=0 2 −4·2·1=−8<0
.
И остаются три варианта расположения параболы с направленными вниз, а не вверх, ветвями относительно оси Ox . В принципе их можно и не рассматривать, так как умножение обеих частей неравенства на −1 позволяет перейти к равносильному неравенству с положительным коэффициентом при x 2 . Но все же не помешает получить представление и об этих случаях. Рассуждения здесь аналогичные, поэтому запишем лишь главные результаты.
Алгоритм решения
Итогом всех предыдущих выкладок выступает алгоритм решения квадратных неравенств графическим способом :
- Во-первых, по значению коэффициента a выясняется, куда направлены ее ветви (при a>0 – вверх, при a<0 – вниз).
- А во-вторых, по значению дискриминанта квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c выясняется, пересекает ли парабола ось абсцисс в двух точках (при D>0 ), касается ее в одной точке (при D=0 ), или не имеет общих точек с осью Ox (при D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.
Когда чертеж готов, по нему на втором шаге алгоритма
- при решении квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 определяются промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс;
- при решении неравенства a·x 2 +b·x+c≥0 определяются промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс и к ним добавляются абсциссы точек пересечения (или абсцисса точки касания);
- при решении неравенства a·x 2 +b·x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
- наконец, при решении квадратного неравенства вида a·x 2 +b·x+c≤0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox и к ним добавляются абсциссы точек пересечения (или абсцисса точки касания);
они и составляют искомое решение квадратного неравенства, а если таких промежутков нет и нет точек касания, то исходное квадратное неравенство не имеет решений.
На координатной плоскости выполняется схематический чертеж, на котором изображается ось Ox (ось Oy изображать не обязательно) и эскиз параболы, отвечающей квадратичной функции y=a·x 2 +b·x+c . Для построения эскиза параболы достаточно выяснить два момента:
Остается лишь решить несколько квадратных неравенств с использованием этого алгоритма.
Примеры с решениями
Пример.
Решите неравенство .
Решение.
Нам требуется решить квадратное неравенство, воспользуемся алгоритмом из предыдущего пункта. На первом шаге нам нужно изобразить эскиз графика квадратичной функции . Коэффициент при x 2 равен 2 , он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Выясним еще, имеет ли парабола с осью абсцисс общие точки, для этого вычислим дискриминант квадратного трехчлена . Имеем . Дискриминант оказался больше нуля, следовательно, трехчлен имеет два действительных корня: и , то есть, x 1 =−3 и x 2 =1/3 .
Отсюда понятно, что парабола пересекает ось Ox
в двух точках с абсциссами −3
и 1/3
. Эти точки изобразим на чертеже обычными точками, так как решаем нестрогое неравенство. По выясненным данным получаем следующий чертеж (он подходит под первый шаблон из первого пункта статьи):
Переходим ко второму шагу алгоритма. Так как мы решаем нестрогое квадратное неравенство со знаком ≤, то нам нужно определить промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс и добавить к ним абсциссы точек пересечения.
Из чертежа видно, что парабола ниже оси абсцисс на интервале (−3, 1/3) и к нему добавляем абсциссы точек пересечения, то есть, числа −3 и 1/3 . В результате приходим к числовому отрезку [−3, 1/3] . Это и есть искомое решение. Его можно записать в виде двойного неравенства −3≤x≤1/3 .
Ответ:
[−3, 1/3] или −3≤x≤1/3 .
Пример.
Найдите решение квадратного неравенства −x 2 +16·x−63<0 .
Решение.
По обыкновению начинаем с чертежа. Числовой коэффициент при квадрате переменной отрицательный, −1
, поэтому, ветви параболы направлены вниз. Вычислим дискриминант, а лучше – его четвертую часть: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1
. Его значение положительно, вычислим корни квадратного трехчлена:
и
, x 1 =7
и x 2 =9
. Так парабола пересекает ось Ox
в двух точках с абсциссами 7
и 9
(исходное неравенство строгое, поэтому эти точки будем изображать с пустым центром).Теперь можно сделать схематический рисунок:
Так как мы решаем строгое квадратное неравенство со знаком <, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:
По чертежу видно, что решениями исходного квадратного неравенства являются два промежутка (−∞, 7) , (9, +∞) .
Ответ:
(−∞, 7)∪(9, +∞) или в другой записи x<7 , x>9 .
При решении квадратных неравенств, когда дискриминант квадратного трехчлена в его левой части равен нулю, нужно быть внимательным с включением или исключением из ответа абсциссы точки касания. Это зависит от знака неравенства: если неравенство строгое, то она не является решением неравенства, а если нестрогое – то является.
Пример.
Имеет ли квадратное неравенство 10·x 2 −14·x+4,9≤0 хотя бы одно решение?
Решение.
Построим график функции y=10·x 2 −14·x+4,9
. Ее ветви направлены вверх, так как коэффициент при x 2
положительный, и она касается оси абсцисс в точке с абсциссой 0,7
, так как D"=(−7) 2 −10·4,9=0
, откуда
или 0,7
в виде десятичной дроби. Схематически это выглядит так:
Так как мы решаем квадратное неравенство со знаком ≤, то его решением будут промежутки, на которых парабола ниже оси Ox , а также абсцисса точки касания. Из чертежа видно, что нет ни одного промежутка, где бы парабола была ниже оси Ox , поэтому его решением будет лишь абсцисса точки касания, то есть, 0,7 .
Ответ:
данное неравенство имеет единственное решение 0,7 .
Пример.
Решите квадратное неравенство –x 2 +8·x−16<0 .
Решение.
Действуем по алгоритму решения квадратных неравенств и начинаем с построения графика. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при x 2
отрицательный, −1
. Найдем дискриминант квадратного трехчлена –x 2 +8·x−16
, имеем D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0
и дальше x 0 =−4/(−1)
, x 0 =4
. Итак, парабола касается оси Ox
в точке с абсциссой 4
. Выполним чертеж:
Смотрим на знак исходного неравенства, он есть <. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.
В нашем случае это открытые лучи (−∞, 4) , (4, +∞) . Отдельно заметим, что 4 - абсцисса точки касания - не является решением, так как в точке касания парабола не ниже оси Ox.
Ответ:
(−∞, 4)∪(4, +∞) или в другой записи x≠4 .
Обратите особое внимание на случаи, когда дискриминант квадратного трехчлена, находящегося в левой части квадратного неравенства, меньше нуля. Здесь не нужно спешить и говорить, что неравенство решений не имеет (мы же привыкли делать такой вывод для квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом). Дело в том, что квадратное неравенство при D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.
Пример.
Найдите решение квадратного неравенства 3·x 2 +1>0 .
Решение.
Как обычно начинаем с чертежа. Коэффициент a
равен 3
, он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Вычисляем дискриминант: D=0 2 −4·3·1=−12
. Так как дискриминант отрицателен, то парабола не имеет с осью Ox
общих точек. Полученных сведений достаточно для схематичного графика:
Мы решаем строгое квадратное неравенство со знаком >. Его решением будут все промежутки, на которых парабола находится выше оси Ox . В нашем случае парабола выше оси абсцисс на всем ее протяжении, поэтому искомым решением будет множество всех действительных чисел.
Ox , а также к ним нужно добавить абсциссы точек пересечения или абсциссу точки касания. Но по чертежу хорошо видно, что таких промежутков нет (так как парабола всюду ниже оси абсцисс), как нет и точек пересечения, как нет и точки касания. Следовательно, исходное квадратное неравенство не имеет решений.
Ответ:
нет решений или в другой записи ∅.
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
Пусть f(x,y) и g(x, y) - два выражения с переменными х и у и областью определения Х . Тогда неравенства вида f(x, y) > g(x, y) или f(x, y) < g(x, y) называется неравенством с двумя переменными .
Значение переменных х, у из множества Х , при которых неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением и обозначается (x, y) . Решить неравенство - это значит найти множество таких пар.
Если каждой паре чисел (x, y) из множества решений неравенства поставить в соответствие точку М(x, y) , получим множество точек на плоскости, задаваемое этим неравенством. Его называют графиком данного неравенства . График неравенства обычно является областью на плоскости.
Чтобы изобразить множество решений неравенства f(x, y) > g(x, y) , поступают следующим образом. Сначала заменяют знак неравенства знаком равенства и находят линию, имеющую уравнение f(x,y) = g(x,y) . Эта линия делит плоскость на несколько частей. После этого достаточно взять в каждой части по одной точке и проверить, выполняется ли в этой точке неравенство f(x, y) > g(x, y) . Если оно выполняется в этой точке, то оно будет выполняться и во всей части, где лежит эта точка. Объединяя такие части, получаем множество решений.
Задача. y > x .
Решение. Сначала заменим знак неравенства знаком равенства и построим в прямоугольной системе координат линию, имеющую уравнение y = x .
Эта линия делит плоскость на две части. После этого возьмем в каждой части по одной точке и проверим, выполняется ли в этой точке неравенство y > x .
Задача.
Решить графически неравенство
х
2 + у
2 £ 25.
|
Пусть даны два неравенства f 1(x, y) > g 1(x, y) и f 2(x, y) > g 2(x, y) .
Системы совокупностей неравенств с двумя переменными
Система неравенств представляет собой конъюнкцию этих неравенств. Решением системы является всякое значение (x, y) , которое обращает каждое из неравенств в истинное числовое неравенство. Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих данную систему.
Совокупность неравенств представляет собой дизъюнкцию этих неравенств. Решением совокупности является всякое значение (x, y) , которое обращает в истинное числовое неравенство хотя бы одно из неравенств совокупности. Множество решений совокупности есть объединение множеств решений неравенств, образующих совокупность.
Задача. Решить графически систему неравенств
Решение. у = х и х 2 + у 2 = 25. Решаем каждое неравенство системы.
Графиком системы будет множество точек плоскости, являющихся пересечением (двойная штриховка) множеств решений первого и второго неравенств.
Задача. Решить графически совокупность неравенств
Упражнения для самостоятельной работы
1. Решите графически неравенства: а) у > 2x ; б) у < 2x + 3;
в) x 2 + y 2 > 9; г) x 2 + y 2 £ 4.
2. Решите графически системы неравенств:
а) в)
В ходе урока вы сможете самостоятельно изучить тему «Графическое решение уравнений, неравенств». Преподаватель на занятии разберет графические методы решения уравнений и неравенств. Научит строить графики, анализировать их и получать решения уравнений и неравенств. На уроке также будут разобраны конкретные примеры по этой теме.
Тема: Числовые функции
Урок: Графическое решение уравнений, неравенств
1. Тема урока, введение
Мы рассмотрели графики элементарных функций, в том числе графики степенных функций c разными показателями. Также мы рассмотрели правила сдвига и преобразований графиков функций. Все эти навыки необходимо применить, когда требуется графическое решение уравнений или графическое решение неравенств .
2. Решение уравнений и неравенств графическим способом
Пример 1. Графически решить уравнение:
Построим графики функций (Рис. 1).
Графиком функции является парабола, проходящая через точки
График функции - прямая, построим её по таблице.
Графики пересекаются в точке Других точек пересечения нет, т. к. функция монотонно возрастает, функция монотонно убывает, а, значит, их точка пересечения является единственной.
Ответ:
Пример 2. Решить неравенство
a. Чтобы выполнялось неравенство, график функции должен располагаться над прямой (Рис. 1). Это выполняется при
b. В этом случае, наоборот, парабола должна находиться под прямой. Это выполняется при
Пример 3. Решить неравенство
Построим графики функций (Рис. 2).
Найдем корень уравнения При нет решений. При существует одно решение .
Чтобы выполнялось неравенство гипербола должна располагаться над прямой Это выполняется при .
Ответ:
Пример 4. Решить графически неравенство:
Область определения:
Построим графики функций для (Рис. 3).
a. График функции должен располагаться под графиком это выполняется при
b. График функции расположен над графиком при Но т. к. в условии имеем нестрогий знак, важно не потерять изолированный корень
3. Заключение
Мы рассмотрели графический метод решения уравнений и неравенств; рассмотрели конкретные примеры, при решении которых использовали такие свойства функций, как монотонность и четность.
1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.
1. Раздел College. ru по математике.
2. Интернет-проект «Задачи» .
3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» .
1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 355, 356, 364.
см. также Решение задачи линейного программирования графически , Каноническая форма задач линейного программирования
Система ограничений такой задачи состоит из неравенств от двух переменных:
и целевая функция имеет вид F
= C
1 x
+ C
2 y
, которую необходимо максимизировать.
Ответим на вопрос: какие пары чисел ( x
; y
) являются решениями системы неравенств, т. е. удовлетворяют каждому из неравенств одновременно? Другими словами, что значит решить систему графически?
Предварительно необходимо понять, что является решением одного линейного неравенства с двумя неизвестными.
Решить линейное неравенство с двумя неизвестными – это значит определить все пары значений неизвестных, при которых неравенство выполняется.
Например, неравенству 3x
– 5 y
≥ 42 удовлетворяют пары (x
, y
) : (100, 2); (3, –10) и т. д. Задача состоит в нахождении всех таких пар.
Рассмотрим два неравенства: ax
+ by
≤ c
, ax
+ by
≥ c
. Прямая ax
+ by
= c
делит плоскость на две полуплоскости так, что координаты точек одной из них удовлетворяют неравенству ax
+ by
>c
, а другой неравенству ax
+ +by
<c
.
Действительно, возьмем точку с координатой x
= x
0 ; тогда точка, лежащая на прямой и имеющая абсциссу x
0 , имеет ординату
Пусть для определенности a
< 0, b
>0,
c
>0. Все точки с абсциссой x
0 , лежащие выше P
(например, точка М
), имеют y M
>y
0 , а все точки, лежащие ниже точки P
, с абсциссой x
0 , имеют y N
<y
0 .
Поскольку x
0 –произвольная точка, то всегда с одной стороны от прямой будут находиться точки,
для которых ax
+ by
> c
, образующие полуплоскость, а с другой стороны – точки, для которых ax
+ by
< c
.
Рисунок 1
Знак неравенства в полуплоскости зависит от чисел a
, b
, c
.
Отсюда вытекает следующий способ графического решения систем линейных неравенств от двух переменных. Для решения системы необходимо:
- Для каждого неравенства выписать уравнение, соответствующее данному неравенству.
- Построить прямые, являющиеся графиками функций, задаваемых уравнениями.
- Для каждой прямой определить полуплоскость, которая задается неравенством. Для этого взять произвольную точку, не лежащую на прямой, подставить ее координаты в неравенство. если неравенство верное, то полуплоскость, содержащая выбранную точку, и является решением исходного неравенства. Если неравенство неверное, то полуплоскость по другую сторону прямой является множеством решений данного неравенства.
- Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти область пересечения всех полуплоскостей, являющихся решением каждого неравенства системы.
Эта область может оказаться пустой, тогда система неравенств не имеет решений, несовместна. В противном случае говорят, что система совместна.
Решений может быть конечное число и бесконечное множество. Область может представлять собой замкнутый многоугольник или же быть неограниченной.
Рассмотрим три соответствующих примера.
Пример 1.
Решить графически систему:
x
+ y –
1 ≤ 0;
–2 x –
2y
+ 5 ≤ 0.
- рассмотрим уравнения x+y–1=0 и –2x–2y+5=0 , соответствующие неравенствам;
- построим прямые, задающиеся этими уравнениями.
Рисунок 2
Определим полуплоскости, задаваемые неравенствами. Возьмем произвольную точку, пусть (0; 0). Рассмотрим x
+ y–
1 0, подставим точку (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. значит, в той полуплоскости, где лежит точка (0; 0), x
+ y
–
1 ≤ 0, т.е. полуплоскость, лежащая ниже прямой, является решением первого неравенства.
Подставив эту точку (0; 0), во второе, получим: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, т.е. в полуплоскости, где лежит точка (0; 0), –2x
– 2y
+ 5≥ 0, а нас спрашивали, где –2x
– 2y
+ 5 ≤ 0, следовательно, в другой полуплоскости – в той, что выше прямой.
Найдем пересечение этих двух полуплоскостей. Прямые параллельны, поэтому плоскости нигде не пересекаются, значит система данных неравенств решений не имеет, несовместна.
Пример 2.
Найти графически решения системы неравенств:
Рисунок 3
1. Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые.
x
+ 2y
– 2 = 0
x | 2 | 0 |
y | 0 | 1 |
y – x – 1 = 0
x | 0 | 2 |
y | 1 | 3 |
y + 2 = 0;
y = –2.
2. Выбрав точку (0; 0), определим знаки неравенств в полуплоскостях:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, т.е. x + 2y – 2 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. y –x – 1 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 + 2 =2 ≥ 0, т.е. y + 2 ≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
3. Пересечением этих трех полуплоскостей будет являться область, являющаяся треугольником. Нетрудно найти вершины области, как точки пересечения соответствующих прямых
Таким образом, А (–3; –2), В (0; 1), С (6; –2).
Рассмотрим еще один пример, в котором получившаяся область решения системы не ограничена.