Тақырып бойынша сабақ және презентация: "Функцияның қасиеттері. Өсу және кемімелі функциялар"

Қосымша материалдар
Құрметті қолданушылар, өз пікірлеріңізді, пікірлеріңізді, тілектеріңізді қалдыруды ұмытпаңыздар! Барлық материалдар антивирустық бағдарлама арқылы тексерілді.

9-сыныпқа арналған Integral интернет-дүкеніндегі оқу құралдары мен тренажерлар
9-сыныпқа арналған интерактивті оқулық «Геометриядан ережелер мен жаттығулар»
7-9 сыныптарға арналған «Түсінікті геометрия» электронды оқулығы

Балалар, біз сандық функцияларды оқуды жалғастырамыз. Бүгін біз функция қасиеттері сияқты тақырыпқа тоқталамыз. Функциялардың көптеген қасиеттері бар. Жақында қандай қасиеттерді зерттегенімізді есте сақтаңыз. Дұрыс, анықтау облысы мен мәндер облысы, олар негізгі қасиеттердің бірі болып табылады. Олар туралы ешқашан ұмытпаңыз және функцияның әрқашан осы қасиеттерге ие екенін есте сақтаңыз.

Бұл бөлімде біз функциялардың кейбір қасиеттерін анықтаймыз. Мен есептерді шешу кезінде оларды анықтайтын ретті сақтауды ұсынамын.

Арту және кему функциясы

Біз анықтайтын бірінші қасиет - өсу және кему функциясы.

Функция X⊂D(f) жиынында өседі деп айтылады, егер кез келген x1 және x2 үшін x1 болатындай< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Функция X⊂D(f) жиынында кемиді деп аталады, егер кез келген x1 және x2 үшін x1 болатындай< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). Яғни, аргументтің үлкен мәні функцияның кіші мәніне сәйкес келеді.

Функцияның графиктерін мұқият қарасаңыз, функцияның «артуы» және «кемуі» ұғымдарын түсіну өте оңай. Артып келе жатқан функция үшін: біз төбеден шығып бара жатқан сияқтымыз, кему функциясы үшін сәйкесінше төмен түсіп жатырмыз. Төмендегі графиктерде өсу және кему функцияларының жалпы көрінісі берілген.

Өсу және кему функцияларын әдетте монотондылық деп атайды.Яғни, біздің міндетіміз функцияның кему және өсу аралықтарын табу. Жалпы жағдайда бұл келесідей тұжырымдалады: монотондылық интервалдарын табу немесе функцияны монотондылыққа тексеру.

$y=3x+2$ функциясының монотондылығын қарастырыңыз.
Шешуі: Кез келген x1 және x2 үшін функцияны тексеріп, x1 болсын< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Өйткені, x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Шектеулі функция

$y=f(x)$ функциясы X⊂D(f) жиынында төменнен шектелген деп аталады, егер кез келген хϵХ үшін f(x) теңсіздігі орындалатындай а саны бар болса.< a.

$y=f(x)$ функциясы X⊂D(f) жиынында жоғарыдан шектелген деп аталады, егер кез келген хϵХ үшін f(x) теңсіздігі орындалатындай сан болса.< a.

Егер X интервалы көрсетілмесе, онда функция анықтаудың барлық облысы бойынша шектелген болып саналады. Жоғарыдан да, төменнен де шектелген функция шектелген деп аталады.

Функцияның шектеуін графиктен оқу оңай. Біраз түзу сызық салуға болады
$у=а$, ал егер функция осы сызықтан жоғары болса, онда ол төменнен шектеледі. Төменде болса, сәйкесінше жоғарыда. Төменде шектелген функцияның графигі берілген. Балалар, өздерің шектеулі функцияның графигін салып көріңдерші.

$y=\sqrt(16-x^2)$ функциясының шектелгендігін қарастырыңыз.
Шешуі: Белгілі бір санның квадрат түбірі нөлден үлкен немесе оған тең. Біздің функциямыз да нөлден үлкен немесе оған тең, яғни төменнен шектелгені анық.
Теріс емес саннан тек квадрат түбірді шығарып аламыз, содан кейін $16-x^2≥0$.
Біздің теңсіздігіміздің шешімі [-4;4] интервалы болады. Бұл сегментте $16-x^2≤16$ немесе $\sqrt(16-x^2)≤4$, бірақ бұл жоғарыдан шектелген дегенді білдіреді.
Жауап: біздің функция $y=0$ және $y=4$ екі түзумен шектелген.

Ең жоғары және ең төменгі мән

X⊂D(f) жиынындағы y= f(x) функциясының ең кіші мәні қандай да бір m саны, сондықтан:

b) Кез келген хϵХ үшін $f(x)≥f(x0)$ орындалады.

X⊂D(f) жиынындағы y=f(x) функциясының ең үлкен мәні қандай да бір m саны, сондықтан:
a) $f(x0)=m$ болатындай кейбір x0 бар.
b) Кез келген хϵХ үшін $f(x)≤f(x0)$ орындалады.

Ең үлкен және ең кіші мәндер әдетте y max арқылы белгіленеді. және y аты .

Шектеу және функцияның ең кіші мәні бар ең үлкен ұғымдары бір-бірімен тығыз байланысты. Келесі мәлімдемелер дұрыс:
а) Функцияның минималды мәні болса, онда ол төменде шектеледі.
б) Функция үшін максималды мән болса, онда ол жоғарыда шектелген.
в) Егер функция жоғарыда шектелмеген болса, онда ең үлкен мән болмайды.
d) Егер функция төменде шектелмесе, онда ең кіші мән болмайды.

$y=\sqrt(9-4x^2+16x)$ функциясының ең үлкен және ең кіші мәнін табыңыз.
Шешуі: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
$х=4$ $f(4)=5$ үшін, барлық басқа мәндер үшін функция кішірек мәндерді қабылдайды немесе жоқ, яғни бұл функцияның ең үлкен мәні.
Анықтамасы бойынша: $9-4x^2+16x≥0$. $(2x+1)(2x-9)≥0$ шаршы үшмүшесінің түбірлерін табайық. $x=-0,5$ және $x=4,5$ кезінде функция барлық басқа нүктелерде нөлден үлкен; Сонда анықтама бойынша функцияның ең кіші мәні нөлге тең болады.
Жауабы: y макс. =5 және y атауы. =0.

Балалар, біз функцияның дөңестігі ұғымын да зерттедік. Кейбір мәселелерді шешкен кезде бізге бұл сипат қажет болуы мүмкін. Бұл қасиет графиктер арқылы да оңай анықталады.

Егер бастапқы функцияның графигіндегі кез келген екі нүкте қосылса және функцияның графигі нүктелерді қосатын сызықтан төмен болса, функция төмен қарай дөңес болады.

Егер бастапқы функцияның графигіндегі кез келген екі нүкте қосылса және функцияның графигі нүктелерді қосатын сызықтан жоғары болса, функция жоғары қарай дөңес болады.

Біздің функцияның графигінде үзілістер болмаса, функция үздіксіз болады, мысалы, жоғарыдағы функцияның графигі сияқты.

Функцияның қасиеттерін табу қажет болса, онда қасиеттерді іздеу тізбегі келесідей болады:
а) Анықтау аймағы.
б) монотондылық.
в) Шектеу.
г) Ең үлкен және ең кіші мән.
г) Үздіксіздік.
e) Мәндер ауқымы.

$y=-2x+5$ функциясының қасиеттерін табыңыз.
Шешім.
a) Анықтау облысы D(y)=(-∞;+∞).
б) монотондылық. Кез келген x1 және x2 мәндерін тексеріп, x1 болсын< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
x1 бастап< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
в) Шектеу. Функция шектелмегені анық.
г) Ең үлкен және ең кіші мән. Функция шектелмеген болғандықтан, ең үлкен немесе ең төменгі мән жоқ.
г) Үздіксіздік. Біздің функциямыздың графигінде үзілістер жоқ, онда функция үздіксіз болады.
e) Мәндер ауқымы. E(y)=(-∞;+∞).

Тәуелсіз шешуге арналған функцияның қасиеттеріне есептер

Функция қасиеттерін табыңыз:
а) $y=2x+7$,
б) $y=3x^2$,
c) $y=\frac(4)(x)$.

А жиынындағы y=f(x) ШЕКТЕУЛІ ЖОҒАРЫ (ТӨМЕНІ) функциясын D(f) анықтау облысынан, егер мұндай сан бар болса, шақырамыз. М , бұл жиыннан кез келген х үшін шарт орындалады

Логикалық белгілерді пайдаланып анықтаманы былай жазуға болады:

f(x) – жиынтықта жоғарыда шектелген

(f(x) – жиынтықта төменнен шектелген

Модуль бойынша шектелген немесе жай шектелген функциялар да ескеріледі.

А жиынындағы BAUNDED функциясын анықтау облысынан шақырамыз, егер оң M саны бар болса,

Логикалық таңбалар тілінде

f(x) – жиынтықта шектелген

Шектелмеген функция шектелмеген деп аталады. Терістеу арқылы берілген анықтамалардың мазмұны аз екенін білеміз. Бұл мәлімдемені анықтама ретінде тұжырымдау үшін (3.6) және (3.7) квантор амалдарының қасиеттерін қолданамыз. Сонда логикалық таңбалар тілінде функцияның шектелгендігін жоққа шығару мынаны береді:

f(x) – жиынтықта шектелген

Алынған нәтиже келесі анықтаманы тұжырымдауға мүмкіндік береді.

Функция функцияның анықталу облысына жататын А жиынында ШЕКСІЗ деп аталады, егер осы жиында кез келген оң M саны үшін х аргументінің осындай мәні болса. , мән әлі де M мәнінен асып түседі, яғни.

Мысал ретінде функцияны қарастырыңыз

Ол бүкіл нақты осьте анықталған. [–2;1] кесіндісін алсақ (А жиыны), онда ол жоғарыда да, төменнен де шектеледі.

Шынында да, оның жоғарыдан шектелгенін көрсету үшін біз предикатты қарастыруымыз керек

және [–2;1] интервалында алынған барлық х үшін ақиқат болатындай М бар (бар) екенін көрсетіңіз.

Мұндай М табу қиын емес. М = 7 деп есептей аламыз, бар болу кванторы М-нің кем дегенде бір мәнін табуды қамтиды. Мұндай M-нің болуы [–2;1] интервалындағы функцияның жоғарыдан шектелгенін растайды.

Оның төменнен шектелгенін дәлелдеу үшін предикатты қарастыру керек

Берілген предикаттың ақиқаттығын қамтамасыз ететін М мәні, мысалы, M = –100.

Функцияның модуль бойынша да шектелетінін дәлелдеуге болады: [–2;1] аралығындағы барлық х үшін функцияның мәндері -ның мәндерімен сәйкес келеді, сондықтан M ретінде қабылдай аламыз, мысалы, алдыңғы мән M = 7.

Көрсетейік, сол функция, бірақ интервалда, шексіз болады, яғни

Мұндай х бар екенін көрсету үшін мәлімдемені қарастырыңыз

Аргументтің оң мәндерінің ішінен қажетті x мәндерін іздей отырып, біз аламыз

Бұл дегеніміз, біз қандай оң M қабылдасақ та, теңсіздіктің орындалуын қамтамасыз ететін х мәндерін қабылдаймыз

қатынасынан алынады.

Бүкіл нақты осьте функцияны қарастыру арқылы оның абсолютті мәнде шектелмегенін көрсетуге болады.

Шынында да, теңсіздіктен

Яғни, оң M қанша үлкен болса да, немесе теңсіздіктің орындалуын қамтамасыз етеді.

ШЕКТЕУЛІ ФУНКЦИЯ.

Функция нүктесінде бар бірге жергілікті максимум (минимум), егер бұл нүктенің осындай көршілестігі болса x¹ бірге осы маңайдан теңсіздік сақталады

әсіресе экстремум нүктесі интервалдың ішкі нүктесі ғана бола алады және ондағы f(x) міндетті түрде анықталуы керек. Экстремумның болмауының мүмкін жағдайлары суретте көрсетілген. 8.8.

Егер функция белгілі бір аралықта өссе (азайса), ал белгілі бір аралықта кемісе (өссе), онда нүкте бірге жергілікті максимум (минималды) нүкте болып табылады.

Нүктедегі f(x) функциясының максимумының болмауы бірге былай тұжырымдауға болады:

_______________________

f(x) с нүктесінде максимумға ие

Бұл дегеніміз, егер c нүктесі жергілікті максимум нүкте болмаса, онда с нүктесін ішкі ретінде қамтитын көршілестіктің қайсысы болмасын, c мәніне тең емес кем дегенде бір x мәні болады. Осылайша, егер с нүктесінде максимум болмаса, онда бұл нүктеде экстремум мүлдем болмауы мүмкін немесе ол минималды нүкте болуы мүмкін (8.9-сурет).

Экстремум ұғымы функцияның кез келген нүктедегі мәніне жақын нүктелерге қатысты салыстырмалы баға береді. Функция мәндерін ұқсас салыстыруды белгілі бір интервалдың барлық нүктелері үшін жүргізуге болады.

Жиындағы функцияның МАКСИМАЛДЫ (ЕҢ КІШІ) мәні оның осы жиынның нүктесіндегі мәні болып табылады, сонда – кезінде. Функцияның ең үлкен мәні сегменттің ішкі нүктесінде, ал ең кішісіне қол жеткізіледі – оның сол жағында.

Интервалда көрсетілген функцияның ең үлкен (ең кіші) мәнін анықтау үшін оның максимумдарының (минимумдарының) барлық мәндерінің, сондай-ақ қабылданған мәндердің ішінен ең үлкен (ең кіші) санды таңдау қажет. интервалдың соңында. Бұл функцияның ең үлкен (ең кіші) мәні болады. Бұл ереже кейінірек нақтыланады.

Ашық интервалдағы функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу мәселесін шешу әрқашан оңай бола бермейді. Мысалы, функция

аралықта (8.11-сурет) олар жоқ.

Мысалы, бұл функцияның аса маңызды емес екеніне көз жеткізейік. Шын мәнінде, функцияның монотондылығын ескере отырып, х мәндерін бірліктің сол жағына қаншалықты жақын орнатқанымызға қарамастан, функцияның мәндері болатын басқа х болады деп айтуға болады. берілген тұрақты нүктелердегі оның мәндерінен үлкен, бірақ бәрібір біреуден аз.

Монотонды функцияның шегі туралы теорема. Теореманы дәлелдеу екі әдіс арқылы беріледі. Қатаң өсетін, кемімейтін, қатаң кемітетін және өспейтін функциялардың анықтамалары да берілген. Монотонды функцияның анықтамасы.

Мазмұны

Функция жоғарыдан шектелмейді

1.1. b саны ақырлы болсын: .
1.1.2. Функция жоғарыда шектелмесін.

.

кезінде.

белгілейік. Сонда кез келген адам үшін бар, солай
кезінде.
Бұл b нүктесіндегі сол жақтағы шектің тең екенін білдіреді (қараңыз «Соңғы нүктедегі функцияның бір жақты шексіз шектерінің анықтамалары»).

b ерте плюс шексіздік

Функция жоғарыдан шектелген

1. Функция аралықта азаймасын.
1.2.1. Функция жоғарыдан M санымен шектелсін: үшін.
Бұл жағдайда шек бар екенін дәлелдеп көрейік.

Функция жоғарыда шектелген болғандықтан, ақырлы қосындысы бар
.
Нақты жоғарғы шекараның анықтамасына сәйкес келесі шарттар орындалады:
;
кез келген оң үшін дәлел бар
.

Функция азаймайтындықтан, онда . Содан кейін. Немесе
кезінде.

Сонымен, біз кез келген адам үшін нөмір бар екенін анықтадық
кезінде.
«Шексіздіктегі бір жақты шектердің анықтамалары»).

Функция жоғарыдан шектелмейді

1. Функция аралықта азаймасын.
1.2. b саны плюс шексіздікке тең болсын: .
1.2.2. Функция жоғарыда шектелмеуі керек.
Бұл жағдайда шек бар екенін дәлелдеп көрейік.

Функция жоғарыда шектелмегендіктен, кез келген M саны үшін оның аргументі бар
.

Функция азаймайтындықтан, онда . Содан кейін.

Сондықтан кез келген үшін сан бар, сондықтан
кезінде.
Бұл шегінің тең екенін білдіреді (қараңыз. «Шексіздіктегі бір жақты шексіз шектердің анықтамалары»).

Функция өспейді

Енді функция өспейтін жағдайды қарастырыңыз. Жоғарыда айтылғандай, әр опцияны бөлек қарастыруға болады. Бірақ біз оларды бірден жабамыз. Ол үшін біз пайдаланамыз. Бұл жағдайда шек бар екенін дәлелдеп көрейік.

Функция мәндерінің жиынының ақырлы инфимумын қарастырайық:
.
Мұнда В ақырлы сан немесе шексіздік нүктесі болуы мүмкін. Дәл төменгі шекті анықтауға сәйкес келесі шарттар орындалады:
;
В нүктесінің кез келген маңайы үшін аргумент бар
.
Теореманың шарттарына сәйкес, . Сондықтан .

Функция өспейтіндіктен, онда . Сол уақыттан бері
кезінде.
Немесе
кезінде.
Әрі қарай, теңсіздік b нүктесінің сол жақ тесілген төңірегін анықтайтынын ескереміз.

Сонымен, біз нүктенің кез келген төңірегі үшін b нүктесінің тесілген сол жақ төңірегі бар екенін анықтадық.
кезінде.
Бұл b нүктесіндегі сол жақтағы шекті білдіреді:

(см. Коши бойынша функция шегінің әмбебап анықтамасы).

А нүктесіндегі шектеу

Енді а нүктесінде шек бар екенін көрсетіп, оның мәнін табамыз.

функциясын қарастырайық. Теореманың шарттарына сәйкес функция үшін монотонды. x айнымалысын - x белгісімен ауыстырайық (немесе ауыстыруды орындап, содан кейін t айнымалысын x -пен ауыстырайық). Сонда функция үшін монотонды болады. Теңсіздіктерді көбейту -1 және олардың ретін өзгерте отырып, функция үшін монотонды деген қорытындыға келеміз.

Сол сияқты, ол азаймаса, өспейтінін көрсету оңай. Содан кейін жоғарыда дәлелденген нәрсеге сәйкес, шегі бар
.
Көбеймесе, кемімейді. Бұл жағдайда шектеу бар
.

Енді функцияның шегі бар болса, онда функцияның шегі бар екенін және бұл шектердің тең болатынын көрсету қалды:
.

Белгілеуді енгізейік:
(1) .
f мәнін g арқылы өрнектейік:
.
Ерікті оң санды алайық. А нүктесінің эпсилон маңы болсын. Эпсилон төңірегі А-ның ақырлы да, шексіз де мәндері үшін анықталған (қараңыз «Нүкте маңы»). Шек (1) болғандықтан, шектің анықтамасына сәйкес, кез келген үшін мұндай бар
кезінде.

a шекті сан болсын. білдірейік нүктенің сол жақ тесілген төңірегі-a теңсіздіктерін қолданып:
кезінде.
x-ті -x-пен ауыстырайық және мынаны ескерейік:
кезінде.
Соңғы екі теңсіздік анықтайды нүктенің оң жақ маңында тесілгена. Содан кейін
кезінде.

a шексіз сан болсын, . Дәлелдеуді қайталаймыз.
бойынша;
бойынша;
бойынша;
кезінде.

Сонымен, біз кез келген адам үшін мұндай нәрсе бар екенін анықтадық
кезінде.
Бұл дегеніміз
.

Теорема дәлелденді.

Сондай-ақ қараңыз:

1) Функция облысы және функция ауқымы.

Функцияның облысы - барлық жарамды аргумент мәндерінің жиыны x(айнымалы x), ол үшін функция y = f(x)анықталды. Функцияның ауқымы - барлық нақты мәндердің жиыны ж, бұл функция қабылдайды.

Бастауыш математикада функциялар тек нақты сандар жиынында зерттеледі.

2) Функция нөлдері.

Функция нөл – функцияның мәні нөлге тең болатын аргументтің мәні.

3) Функцияның тұрақты таңбасының интервалдары.

Функцияның тұрақты таңбасының интервалдары - бұл функция мәндері тек оң немесе теріс болатын аргумент мәндерінің жиыны.

4) Функцияның монотондылығы.

Өсіп келе жатқан функция (белгілі бір аралықта) деп осы аралықтағы аргументтің үлкен мәні функцияның үлкен мәніне сәйкес келетін функцияны айтады.

Азайғыш функция (белгілі бір аралықта) - бұл аралықтағы аргументтің үлкен мәні функцияның кіші мәніне сәйкес келетін функция.

5) Жұп (тақ) функция.

Жұп функция - анықтау облысы бастапқы және кез келген үшін симметриялы болатын функция Xанықтау аймағынан теңдік f(-x) = f(x). Жұп функцияның графигі ординатаға қатысты симметриялы.

Тақ функция деп анықтау облысы бастапқы және кез келген үшін симметриялы болатын функцияны айтады Xанықтау аймағынан теңдік ақиқат f(-x) = - f(x). Тақ функцияның графигі бастапқы нүктеге қатысты симметриялы.

6) Шектеулі және шектеусіз функциялар.

|f(x)| болатындай оң M саны болса, функция шектелген деп аталады ≤ M x-тің барлық мәндері үшін. Егер мұндай сан жоқ болса, онда функция шексіз болады.

7) Функцияның периодтылығы.

f(x) функциясы периодты болып табылады, егер функцияның анықталу облысындағы кез келген х үшін келесі орындалатындай нөлдік емес T саны болса: f(x+T) = f(x). Бұл ең кіші сан функцияның периоды деп аталады. Барлық тригонометриялық функциялар периодты болып табылады. (Тригонометриялық формулалар).

19. Негізгі элементар функциялар, олардың қасиеттері және графиктері. Функцияларды экономикада қолдану.

Негізгі элементар функциялар. Олардың қасиеттері және графиктері

1. Сызықтық функция.

Сызықтық функция түрінің функциясы деп аталады, мұндағы х - айнымалы, a және b - нақты сандар.

Сан Атүзудің еңісі деп аталады, ол осы түзудің көлбеу бұрышының х осінің оң бағытына жанамасына тең. Сызықтық функцияның графигі түзу болады. Ол екі нүктемен анықталады.

Сызықтық функцияның қасиеттері

1. Анықтау облысы – барлық нақты сандар жиыны: D(y)=R

2. Мәндер жиыны барлық нақты сандар жиыны болып табылады: E(y)=R

3. Функция немесе болғанда нөлдік мән қабылдайды.

4. Функция анықтаудың барлық облысы бойынша артады (кемітеді).

5. Сызықтық функция анықтаудың барлық облысы бойынша үздіксіз, дифференциалданатын және .

2. Квадраттық функция.

Пішіннің функциясы, мұнда x айнымалы, a, b, c коэффициенттері нақты сандар болып табылады. квадраттық

Мүмкіндіктер a, b, cграфиктің координаталық жазықтықтағы орнын анықтау

А коэффициенті тармақтардың бағытын анықтайды. Квадраттық функцияның графигі парабола. Парабола төбесінің координаталары мына формулалар арқылы табылады:

Функция қасиеттері:

2. Аралықтардың біреуі үшін мәндер жиыны: немесе.

3. Функция нөлдік мәндерді қабылдайды , мұндағы дискриминант мына формуламен есептеледі.

4. Функция анықтаудың барлық облысы бойынша үзіліссіз және функцияның туындысы -ге тең.