Уводни бележки и прости примери

Пример 1. За какви стойности на a уравнението ax 2 + 2x + 1 = 0 има два различни корена?

Решение.

Това уравнение е квадратно по отношение на променливата x за a№ 0 и има различни корени, когато е дискриминант

т.е. за a< 1.

Освен това за a = 0 се получава уравнението 2x + 1 = 0, което има един корен.

По този начин A О (- Ґ; 0) И (0; 1).

Правило 1. Ако коефициентът при x 2 на многочлен от втора степен съдържа параметър, е необходимо да се анализира случаят, когато той изчезва.

Пример 2. Уравнението ax 2 + 8x + c = 0 има един корен, равен на 1. Какво представляват a и c?

Решение. Нека започнем да решаваме задачата със специалния случай a = 0, уравнението има вид 8x + c = 0. Това линейно уравнение има решение x 0 = 1 при c = - 8.

С No. 0 квадратното уравнение има един корен, ако

Освен това, замествайки корена x 0 = 1 в уравнението, получаваме a + 8 + c = 0.

Решавайки системата от две линейни уравнения, намираме a = c = - 4.

Теорема 1.

За намален квадратен трином y = x 2 + px + q (при условие p 2і 4q)
сумата от корените x 1 + x 2 = - p, произведението на корените x 1 x 2 = q, разликата на корените е
а сумата от квадратите на корените е x 1 2 + x 2 2 = p 2 - 2q.

Теорема 2.

За квадратен трином y = ax 2 + bx + c с два корена x 1 и x 2,
декомпозиционна ос 2 + bx + c = a (x - x 1) (x - x 2), за тричлен с един корен x 0 - декомпозиция
брадва 2 + bx + c = a (x - x 0) 2.

Коментирайте. Често за квадратни уравнения с дискриминант, равен на нула и имащи съответно един корен, казват, че той има два съвпадащи корена (?). Това се дължи на факторизацията на полинома, даден в теорема 2.(В този случай правилно говорене и разбиране ви е необходим „един корен от множественост два.“ - Ред.)

Ще обърнем внимание на тази тънкост и ще изберем случая на един корен от множественост 2.

Пример 3. В уравнението x 2 + ax + 12 = 0 определете a, така че разликата между корените на уравнението да е равна на единица.

Решение. Разлика в корените
откъдето a = ± 7.

Пример 4. За какво a е сумата от квадратите на корените на уравнението 2x 2 + 4x + a = 0, равна на 6?

Решение. Записваме уравнението във формата
откъдето x 1 2 + x 2 2 = 4 - a = 6 и a = - 2.

Пример 5. За всички a решете уравнението ax 2 - 2x + 4 = 0.

Решение. Ако a = 0, тогава x = 2. Ако a№ 0, тогава уравнението става квадратно. Неговият дискриминант
е равно на D = 4 - 16а. Ако D< 0, т. е. a > ,
уравнението няма решения. Ако D = 0, т.е. a =,
x = 4. Ако D> 0, т.е.< ,
уравнението има два корена

Местоположението на корените на квадратен трином

Графиката на квадратното уравнение е парабола, а решенията на квадратното уравнение са абсцисите на точките на пресичане на тази парабола с оста Ox. Основата за решаване на всички задачи в този раздел е изучаването на особеностите на подреждането на параболи с дадени свойства на координатната равнина.

Пример 6. За кои корени от уравнението x 2 - 2ax + a 2 - a - 6 = 0 имат различни знаци?

Решение (фиг. 1).

Квадратичното уравнение или няма решения (графиката е парабола от формата D), или има един или два положителни корена (парабола С), или има един или два отрицателни корена (парабола А), или има корени от противоположни знаци ( парабола Б).

Лесно е да се разбере, че последният тип параболи, за разлика от други, се характеризира с факта, че f (0)< 0. Таким образом, f(0) = a 2 – a – 6 < 0, откуда 0 < a < .

Това решение може да бъде обобщено, което ще формулираме като следното правило.

Правило 2. За уравнението ax 2 + bx + c = 0

имаше два различни корена x 1 и x 2, така че x 1< M < x 2 , необходимо и достаточно, чтобы a f(M) < 0.

Пример 7. За кое a уравнението x 2 - 2ax + a 2 - a - 6 = 0 има два различни корена от един и същ знак?

Решение. Интересуваме се от параболи от типове A и C (виж фиг. 1). Те се характеризират с факта, че

откъдето А О (- 6; - 2) И (3; + Ґ).

Пример 8. За кое a уравнението x 2 - 2ax + a 2 - a - 6 = 0 има два различни положителни корена?

Решение. Интересуваме се от параболи от тип С на фиг. един.

За да има корени уравнението, ние изискваме

Тъй като и двата корена на уравнението по условието трябва да са положителни, тогава абсцисата на върха на параболата, лежаща между корените, е положителна: x 0 = a> 0.

Ордината на върха f (x 0)< 0 в силу того, что мы потребовали существование корней, поэтому если, кроме того, потребовать выполнение условия f(x 0) >0, тогава по силата на непрекъснатостта на изследваната функция има точка x 1ОТНОСНО (0; x 0), така че f (x 1) = 0. Очевидно това е по-малкият корен от уравнението.

И така, f (0) = a 2 - a - 6> 0 и събирайки всички условия заедно, получаваме системата

с разтвора a О (3; + Ґ).

Пример 9. За кое a уравнението x 2 - 2ax + a 2 - a - 6 има два различни отрицателни корена?

Решение. След изследване на параболите от тип А на фиг. 1, получаваме системата

откъдето А О (- 6; - 2).

Нека обобщим решението на предишните проблеми под формата на следното правило.

Правило 3. За да може уравнението ax 2 + bx + c = 0 да има два различни корена x 1 и x 2, всеки от които е по-голям (по-малък) M, е необходимо и достатъчно, че

Пример 10. Функцията f (x) се дава от формулата

Намерете всички стойности на параметъра a, за които уравнението f (x) = 0 има поне едно решение.

Решение. Всички възможни решения на това уравнение се получават като решения на квадратното уравнение

x 2 - (4a + 14) x + 4a 2 + 33a + 59 = 0

с допълнителното условие, че поне един (очевидно по-голям) корен x 2аз а.

Естествено, за да има корени уравнението, трябва да бъде = - 5 (a + 2) і 0,
откъдето a Ј - 2.

Графиката от лявата страна на избраното уравнение е парабола, чиято абсциса на върха е равна на x 0 = 2a + 7. Решението на задачата се дава от два вида параболи (фиг. 2).

A: x 0 i a, откъдето a i - 7. В този случай по-големият корен от полинома x 2и x 0 і a.

B: x 0< a, f(a) Ј 0, откъдето .
В този случай също по-големият корен от полинома x 2аз а.

Накрая .

Три решения за едно и също неравенство

Пример 11. Намерете всички стойности на параметъра a, за които неравенството x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3> 0

изпълнени:

1) за всички стойности на x;
2) за всички положителни стойности на x;
3) за всички стойности на x O [- 1; един].

Решение.

Първият начин.

1) Очевидно това неравенство е валидно за всички х, когато дискриминантът е отрицателен, т.е.

= a 2 - (a 2 + 2a - 3) = - 2a + 3< 0,

откъдето a>.

2) За да разберем по-добре какво се изисква в постановката на задачата, ще приложим проста техника: на координатната равнина ще нарисуваме няколко параболи и след това ще вземем и затворим лявата полуплоскост по отношение на оста Oy. Частта от параболата, която остава видима, трябва да е над оста Ox.

Условието на проблема е изпълнено в два случая (вж. Фиг. 3):

< 0, откуда a > ;

Б: и двата корена (може би един, но двоен) от уравнението x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 = 0 са вляво от началото. По правило 3 това условие е еквивалентно на системата от неравенства D i 0, x 0 Ј 0 и f (0) i 0.

При решаването на тази система обаче първото неравенство може да се пропусне, тъй като дори ако някаква стойност на a не отговаря на условиеі 0, тогава той автоматично попада в решението на точка А. Така решаваме системата

откъдето a Ј - 3.

Комбинирайки решенията на точки A и B, получаваме

отговор:

3) Условието на проблема е изпълнено в три случая (вж. Фиг. 4):

A: графиката на функцията y = x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 се намира над оста Ox, т.е. D< 0, откуда a > ;

Б: и двата корена (може би един от кратността 2) от уравнението x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 = 0 са вляво от - 1. Това условие е еквивалентно, както знаем от правило 3, на системата на неравенствата Dі 0, x 0< – 1, f(– 1) > 0;

C: двата корена на уравнението x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 = 0 са вдясно от 1.
Това условие е еквивалентно на D i 0, x 0> 1, f (1)> 0.

Въпреки това, в точки Б и В, както и в решението на предишния проблем, неравенството, свързано с дискриминанта, може да бъде пропуснато.

Съответно получаваме две системи от неравенства

След като разгледахме всички случаи, получаваме резултата: a>
в точка
в C.
Отговорът на проблема е обединението на тези три множества.

Втори начин. За да бъде изпълнено условието на всяка от трите точки на задачата, най-малката стойност на функцията
y = x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 на всеки от съответните интервали трябва да бъде положителен.

1) Върхът на параболата y = x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 се намира в точката (a; 2a - 3), следователно най-малката стойност на функцията на цялата права на числото е 2a - 3, и a>.

2) по полуос x i 0 най-малката стойност на функцията е f (0) = a 2 + 2a - 3 ако a< 0, и f(a) = 2a – 3, если a і 0. Анализирайки и двата случая, получаваме

3) Най-малката на сегмента [- 1; 1] стойността на функцията е

Тъй като най-малката стойност трябва да е положителна, получаваме системи от неравенства

Решението на тези три системи е много

Трети начин. 1) Върхът на параболата y = x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3

е в точката (a; 2a - 3). Нека нарисуваме на координатната равнина множество, което се формира от върховете на всички параболи за различни a (фиг. 5).

Това е правата линия y = 2x - 3. Припомнете си, че всяка точка от тази права линия съответства на собствената си стойност на параметъра и от всяка точка на тази права линия излиза парабола, съответстваща на дадената стойност на параметъра „излиза“. Параболите изцяло над оста Ox се характеризират с условието 2a - 3> 0.

2) Решенията на този елемент са всички решения на първия елемент и, освен това, параболи, за които a са отрицателни и f (0) = a 2 + 2a - 3і 0.

3) От фиг. 5, че се интересуваме от параболи, за които или a е отрицателно и f (- 1) = a 2 + 4a - 2> 0,
или a е положително и f (1) = a 2 - 2> 0.

Уравнения и неравенства, свеждащи се до квадрат

Пример 12. За какви стойности на a уравнението 2x 4 - 2ax 2 + a 2 - 2 = 0 няма решения?

Решение. Заменяйки y = x 2, получаваме квадратното уравнение f (y) = 2y 2 - 2ay + a 2 - 2 = 0.

Полученото уравнение няма решение, когато D< 0. Кроме того, первоначальное уравнение не имеет решений, когда корни уравнения f(y) = 0 отрицательны.

Тези условия могат да се запишат като съвкупност

от къде

Пример 13. За всяка стойност на параметъра a решете уравнението cos x sin 2x = asin 3x.

Решение. Тъй като 2cos x sin 2x = sin x + sin 3x и sin 3x = 3sin x - 4sin 3 x,

тогава уравнението ще бъде записано като sin x (sin 2 x (4a - 2) - (3a - 2)) = 0.

Следователно получаваме решенията x = p n, n О Z за всеки a. Уравнението

има решения

не съвпада с решенията на първото уравнение, само при условието

Последните ограничения са еквивалентни

Отговор: x = p n, n О Z за всяко a; Освен това,

Пример 14. Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които неравенството
a 2 + 2a - sin 2 x - 2acos x> 2 важи за всяко число x.

Решение. Преобразувайте неравенството в cos 2 x - 2acos x + a 2 + 2a - 3> 0

и направете промяната t = cos x. Важно е да се отбележи, че параметърът t обхваща стойности от - 1 до 1, така че проблемът е преформулиран по следния начин: намерете всичко такова, че

t 2 - 2at + a 2 + 2a - 3> 0

важи за всички tОТНОСНО [- един; един]. Вече решихме този проблем по-рано.

Пример 15. Определете за какви стойности на a уравнението log 3 (9 x + 9a 3) = x има решения и ги намерете.

Решение. Напишете уравнението на 9 x - 3 x + 9a 3 = 0

и, като направим промяната y = 3 x, получаваме y 2 - y + 9a 3 = 0.

В случая, когато дискриминантът е отрицателен, уравнението няма решения. Когато дискриминантът

D = 1 - 36a 3 = 0, уравнението има един корен,
и x = - log 3 2. И накрая, когато дискриминантът е положителен, т.е.
оригиналното уравнение има един корен ,
и ако освен това изразът 1 е положителен,
тогава уравнението също има втори корен .

И така, най-накрая получаваме

,

няма решения за останалите a.

Пример 16. За всяка стойност на параметъра a решете уравнението sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x + a = 0.

Решение. Като
препишете уравнението като sin 2 x - 2sin x - 2a - 2 = 0.
Нека y = sin 2x, тогава y 2 - 2y - 2a - 2 = 0 (| y |Ј 1).

Графиката на функцията от лявата страна на уравнението е парабола с връх, чиято абсциса y 0 = 1; стойността на функцията в точката у = - 1 е равна на 1 - 2а; дискриминантът на уравнението е 8a + 12. Това означава, че по-големият корен y 2 от уравнението y 2 - 2y - 2a - 2 = 0, дори и да съществува, е по-голям от 1 и съответното уравнение sin 2x = y 2 няма решения. 3. За какви стойности на a уравнението 2x 2 + (3a + 1) x + a 2 + a + 2 = 0 има поне един корен?
4. Уравнението ax 2 + bx + 5 = 0 има единичен корен, равен на 1. На какво са равни a и b?
5. За какви стойности на параметъра a корените на квадратното уравнение 5x 2 - 7x + a = 0 се отнасят като 2 до 5?
6. В уравнението ax 2 + 8x + 3 = 0 определете a, така че разликата между корените на уравнението да бъде равна на единица.
7. За какво a е сумата от квадратите на корените на уравнението x 2 - 2ax + 2 (a + 1) = 0, равна на 20?
8. За кои b и c уравнението c + bx - 2x 2 = 0 има един положителен и един отрицателен корен?
9. Намерете всички стойности на параметъра a, за които единият корен от уравнението x 2 - (a + 1) x + 2 = 0 е по-голям от a, а другият е по-малък от a.
10. Намерете всички стойности на параметъра a, за които уравнението x 2 + (a + 1) x + 2 = 0 има два различни корена от един и същ знак.
11. За какви стойности на a всички получени корени на уравнението (a - 3) x 2 - 2ax + 6a = 0 са положителни?
12. За какво a всички получени корени от уравнението (1 + a) x 2 - 3ax + 4a = 0 са по-големи от 1?
13. Намерете всички стойности на параметъра a, за които и двата различни корена на уравнението x 2 + x + a = 0 са по-големи от a.
14. За какви стойности на a са и двата корена на уравнението 4x 2 - 2x + a = 0 между - 1 и 1?
15. За какви стойности на a уравнението x 2 + 2 (a - 1) x + a + 5 = 0 има поне един положителен корен?
16. Функцията f (x) се дава от формулата

Намерете всички стойности на параметъра a, за които уравнението f (x) = 0 има поне едно решение.
17. За кое a неравенството (a 2 - 1) x 2 + 2 (a - 1) x + 2> 0 е вярно за всички x?
18. За какви стойности на параметъра a важи неравенството ax 2 + 2x> 1 - 3a за всички положителни x?
19. За какви стойности на a уравнението x 4 + (1 - 2a) x 2 + a 2 - 1 = 0 няма решения?
20. За какви стойности на параметъра а уравнението 2x 4 - 2ax 2 + a2 - 2 = 0 има едно или две решения?
21. За всяка стойност на a решете уравнението acos x cos 2x = cos 3x.
22. Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които неравенството cos 2 x + 2asin x - 2a< a 2 – 4 выполняется для любого числа x.
23. За всички a решете уравнението log 2 (4 x + a) = x.
24. За всяка стойност на параметъра a решете уравнението sin 2 x + asin 2 2x = sin.

Квадратна триномиална графика

2019-04-19

Квадратно триномиално

Ние наричаме цяла рационална функция от втора степен чрез квадратен трином:

$ y = ax ^ 2 + bx + c $, (1)

където $ a \ neq 0 $. Нека докажем, че графиката на квадратен трином е парабола, получена чрез паралелни отмествания (в посоките на координатните оси) от параболата $ y = ax ^ 2 $. За това довеждаме израз (1) посредством прости идентични трансформации на формата

$ y = a (x + \ alpha) ^ 2 + \ beta $. (2)

Съответните трансформации, написани по-долу, са известни като "квадратна селекция":

$ y = x ^ 2 + bx + c = a \ left (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x \ right) + c = a \ left (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) \ дясно) - \ frac (b ^ 2) (4a) + c = a \ ляво (x + \ frac (b) (2a) \ дясно) ^ 2 - \ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a) $. (2 ")

Довели сме триъгълния квадрат до формата (2); при което

$ \ alpha = \ frac (b) (2a), \ beta = - \ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a) $

(тези изрази не трябва да се запомнят, по-удобно е да се извършва преобразуването на тринома (1) във формата (2) директно всеки път).

Сега можете да видите, че графиката на тринома (1) е парабола, равна на парабола $ y = ax ^ 2 $ и получена чрез изместване на параболата $ y = ax ^ 2 $ в посоките на координатните оси по $ \ alpha $ и $ \ beta $ (отчитайки съответно знака $ \ alpha $ и $ \ beta $). Върхът на тази парабола се намира в точката $ (- \ alpha, \ beta) $, нейната ос е линията $ x = - \ alpha $. За $ a> 0 $ върхът е най-ниската точка на параболата, за $ a
Нека сега извършим изследване на квадратичния трином, тоест ще открием неговите свойства в зависимост от числените стойности на коефициентите $ a, b, c $ в неговия израз (1).

Нека обозначим в равенство (2 ") стойността $ b ^ 2- 4ac $ с $ d $:

$ y = a \ ляво (x + \ frac (b) (2a) \ дясно) ^ 2 - \ frac (d) (4a) $; (четири)

$ d = b ^ 2 - 4ac $ се нарича дискриминант на квадратния трином. Свойствата на тринома (1) (и местоположението на неговата графика) се определят от знаците на дискриминанта $ d $ и водещия коефициент $ a $.

1) $ a> 0, d 0 $; тъй като $ a> 0 $, диаграмата се намира над горната $ O ^ (\ prime) $; тя се намира в горната полу равнина ($ y> 0 $ - фиг. а.).

2) $ a
3) $ a> 0, d> 0 $. Върхът $ O ^ (\ prime) $ се намира под оста $ Ox $, параболата пресича оста $ Ox $ в две точки $ x_1, x_2 $ (фиг. В.).

4) $ a 0 $. Върхът $ O ^ (\ prime) $ лежи над оста $ Ox $, параболата отново пресича оста $ Ox $ в две точки $ x_1, x_2 $ (фиг. D).

5) $ a> 0, d = 0 $. Върхът лежи върху самата ос $ Ox $, параболата е разположена в горната полуплоскост (фиг. Д).

6) $ a
Заключения. Ако $ d 0 $), или по-ниско (за $ a
Ако $ d> 0 $, тогава функцията се редува (графиката е отчасти отдолу, отчасти над оста $ Ox $). Квадратният трином с $ d> 0 $ има два корена (нули) $ x_1, x_2 $. При $ a> 0 $ той е отрицателен в интервала между корените (фиг. В) и положителен извън този интервал. За $ a

Определя се с формулата $ a ((x) ^ (2)) + bx + c $ $ (a \ ne 0). $ Числата $ a, b $ и $ c $ са коефициентите на квадратния трином, те са обикновено се нарича: a е най-високият, b - вторият или средният коефициент, c - свободният член. Функция от вида y = ax 2 + bx + c се нарича квадратична функция.

Всички тези параболи имат връх в началото; за a> 0 това е най-ниската точка на графиката (най-малката стойност на функцията), а за a< 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.

Както можете да видите, при a> 0 параболата е насочена нагоре, за a< 0 - вниз.

Има прост и удобен графичен метод, който ви позволява да изградите произволен брой точки от параболата y = ax 2 без изчисления, ако знаете точка от параболата, различна от върха. Нека точката M (x 0, y 0) лежи върху параболата y = ax 2 (фиг. 2). Ако искаме да изградим n допълнителни точки между точките O и M, тогава разделяме сегмента ON на оста на абсцисата на n + 1 равни части и изчертаваме перпендикуляри на оста Ox в точките на разделяне. Разделяме сегмента NM на същия брой равни части и свързваме точките на разделяне с лъчи към началото. Търсените точки на параболата лежат в пресечната точка на перпендикуляри и лъчи с еднакви числа (на фиг. 2 броят на точките на разделяне е 9).

Графиката на функцията y = ax 2 + bx + c се различава от графиката y = ax 2 само по своето положение и може да бъде получена просто чрез преместване на кривата в чертежа. Това следва от представянето на квадратния трином във формата

откъдето е лесно да се заключи, че графиката на функцията y = ax 2 + bx + c е парабола y = ax 2, чийто връх се премества в точката

а оста му на симетрия остава успоредна на оста Oy (фиг. 3). Всички негови основни свойства лесно следват от получения израз за квадратен трином. Изразът D = b 2 - 4ac се нарича дискриминант на квадратичната триномиална ос 2 + bx + c и дискриминанта на свързаното квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0. Знакът на дискриминанта определя дали графиката на квадратен трином пресича оста на абсцисата или лежи на една страна от нея. А именно, ако D< 0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a >0, тогава параболата лежи над оста Ox и ако a< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D >0 графиката на квадратния трином пресича оста на абсцисата в две точки x 1 и x 2, които са корените на квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0 и са равни съответно

При D = 0 параболата докосва оста на оси в точката

Свойствата на квадратния трином лежат в основата на решението на квадратните неравенства. Нека обясним това с пример. Нека се изисква да се намерят всички решения на неравенството 3x 2 - 2x - 1< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D >0, тогава съответното квадратно уравнение 3x 2 - 2x - 1 = 0 има два различни корена, те се определят от формулите, дадени по-рано:

x 1 = −1/3 и x 2 = 1.

В разглеждания квадратичен трином, a = 3> 0, което означава, че клоновете на неговата графика са насочени нагоре и стойностите на квадратния трином са отрицателни само в интервала между корените. И така, всички решения на неравенството отговарят на условието

−1/3 < x < 1.

Различните неравенства могат да бъдат сведени до квадратни неравенства чрез същите замествания, с които различните уравнения се свеждат до квадратични.

Урок: как да изградим парабола или квадратна функция?

ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТ

Парабола е графика на функция, описана с формулата ax 2 + bx + c = 0.
За да изградите парабола, трябва да следвате прост алгоритъм от действия:

1) Формула на парабола y = ax 2 + bx + c,
ако a> 0тогава се насочват клоните на параболата нагоре,
в противен случай клоновете на параболата са насочени надолу.
Безплатен член ° Стази точка пресича параболата с оста OY;

2), се намира по формулата x = (- b) / 2a, заместваме намереното x в уравнението на параболата и намираме у;

3)Функционални нулиили по друг начин точките на пресичане на параболата с оста OX, те също се наричат ​​корените на уравнението. За да намерим корените, приравняваме уравнението на 0 брадва 2 + bx + c = 0;

Видове уравнения:

а) Пълното квадратно уравнение има формата брадва 2 + bx + c = 0и се решава от дискриминанта;
б) Непълно квадратно уравнение на формата брадва 2 + bx = 0.За да го разрешите, трябва да поставите x извън скобите, след което да приравните всеки фактор на 0:
брадва 2 + bx = 0,
x (ax + b) = 0,
x = 0 и ax + b = 0;
в) Непълно квадратно уравнение на формата брадва 2 + c = 0.За да го разрешите, трябва да преместите непознатото в едната посока, а познатото в другата. x = ± √ (c / a);

4) Намерете някои допълнителни точки за изграждане на функцията.

ПРАКТИЧЕСКА ЧАСТ

И така сега, като използваме пример, ще анализираме всичко според действията:
Пример # 1:
y = x 2 + 4x + 3
c = 3 означава, че параболата пресича OY в точката x = 0 y = 3. Клоновете на параболата гледат нагоре, тъй като a = 1 1> 0.
a = 1 b = 4 c = 3 x = (- b) / 2a = (- 4) / (2 * 1) = - 2 y = (-2) 2 +4 * (- 2) + 3 = 4- 8 + 3 = -1 върхът е в точката (-2; -1)
Намерете корените на уравнението x 2 + 4x + 3 = 0
Намерете корените от дискриминанта
a = 1 b = 4 c = 3
D = b 2 -4ac = 16-12 = 4
x = (- b ± √ (D)) / 2a
x 1 = (- 4 + 2) / 2 = -1
x 2 = (- 4-2) / 2 = -3

Вземете няколко произволни точки, които са близо до върха x = -2

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

Заместете x в уравнението y = x 2 + 4x + 3 стойности
y = (- 4) 2 +4 * (- 4) + 3 = 16-16 + 3 = 3
y = (- 3) 2 +4 * (- 3) + 3 = 9-12 + 3 = 0
y = (- 1) 2 +4 * (- 1) + 3 = 1-4 + 3 = 0
y = (0) 2 + 4 * (0) + 3 = 0-0 + 3 = 3
От стойностите на функцията може да се види, че параболата е симетрична по отношение на права линия x = -2

Пример # 2:
y = -x 2 + 4x
c = 0 означава, че параболата пресича OY в точката x = 0 y = 0. Клоновете на параболата гледат надолу като a = -1 -1 Намерете корените на уравнението -x 2 + 4x = 0
Непълно квадратно уравнение на формата ax 2 + bx = 0. За да го разрешите, трябва да поставите x извън скобите, след което да приравните всеки фактор на 0.
x (-x + 4) = 0, x = 0 и x = 4.

Вземете няколко произволни точки, които са близо до върха x = 2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Заместете x в уравнението y = -x 2 + 4x стойности
y = 0 2 + 4 * 0 = 0
y = - (1) 2 + 4 * 1 = -1 + 4 = 3
у = - (3) 2 + 4 * 3 = -9 + 13 = 3
y = - (4) 2 + 4 * 4 = -16 + 16 = 0
От стойностите на функцията може да се види, че параболата е симетрична по отношение на права линия x = 2

Пример №3
у = х 2 -4
c = 4 означава, че параболата пресича OY в точката x = 0 y = 4. Клоновете на параболата гледат нагоре, тъй като a = 1 1> 0.
a = 1 b = 0 c = -4 x = (- b) / 2a = 0 / (2 * (1)) = 0 y = (0) 2 -4 = -4 върхът е в точката (0; -4)
Намерете корените на уравнението x 2 -4 = 0
Непълно квадратно уравнение на формата ax 2 + c = 0. За да го разрешите, трябва да преместите непознатото в едната посока, а познатото в другата. x = ± √ (c / a)
x 2 = 4
x 1 = 2
x 2 = -2

Вземете няколко произволни точки, които са близо до върха x = 0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Заместете x в уравнението y = x 2 -4 стойности
y = (- 2) 2 -4 = 4-4 = 0
у = (- 1) 2 -4 = 1-4 = -3
у = 1 2 -4 = 1-4 = -3
y = 2 2 -4 = 4-4 = 0
От стойностите на функцията може да се види, че параболата е симетрична по отношение на права линия x = 0

Абонирай се на канал в YOUTUBEда бъде в крак с всички нови продукти и се подготвя с нас за изпити.