Както бе споменато по-горе, класическата дефиниция на вероятността предполага, че всички елементарни резултати са еднакво вероятни. Еквивалентност на резултатите от експеримента се заключава поради съображения за симетрия. Проблемите, при които могат да се използват съображения за симетрия, са рядкост на практика. В много случаи е трудно да се даде основание да се смята, че всички елементарни резултати са еднакво вероятни. В тази връзка се наложи въвеждането на друга дефиниция на вероятността, наречена статистическа. Нека първо представим понятието относителна честота.

Относителна честота на събитията, или честота, е съотношението на броя на експериментите, в които се е случило това събитие, към броя на всички направени експерименти. Определете честотата на събитието Апрез W(A),тогава

където не общият брой на експериментите; ме броят на експериментите, в които се е случило събитието А.

При малък брой експерименти честотата на събитието е до голяма степен произволна и може да варира значително от една група експерименти в друга. Например при десет хвърляния на монета е напълно възможно гербът да се появи 2 пъти (честота 0,2), при други десет хвърляния може да получим 8 герба (честота 0,8). Въпреки това, с увеличаване на броя на експериментите, честотата на събитието губи своя произволен характер все повече и повече; случайните обстоятелства, присъщи на всяко отделно преживяване, се компенсират взаимно в маса и честотата има тенденция да се стабилизира, приближавайки се с леки колебания към някаква средна постоянна стойност. Тази константа, която е обективна числена характеристика на явлението, се счита за вероятност за това събитие.

Статистическа дефиниция на вероятността: вероятностсъбития се нарича число, около което се групират стойностите на честотата на дадено събитие в различни серии от голям брой тестове.

Свойството на честотна стабилност, многократно проверено експериментално и потвърдено от опита на човечеството, е една от най-характерните закономерности, наблюдавани при случайни явления. Съществува дълбока връзка между честотата на събитие и неговата вероятност, която може да се изрази по следния начин: когато оценяваме степента на възможност за събитие, ние свързваме тази оценка с по-голяма или по-малка честота на възникване на подобни събития на практика .

геометрична вероятност

Класическата дефиниция на вероятността предполага, че броят на елементарните резултати е краен. На практика има експерименти, за които наборът от такива резултати е безкраен. За да се преодолее този недостатък на класическата дефиниция на вероятността, която е, че тя не е приложима за опити с безкраен брой резултати, се въвежда геометрични вероятности - вероятностите за попадане на точка в дадена област.

Да приемем, че на равнината е дадена квадратура г, т.е. площ с площ S G. В района на гсъдържа площ ж■ площ Sg. До района гточка се хвърля на случаен принцип. Ще приемем, че хвърлената точка може да попадне в някаква част от областта гс вероятност, пропорционална на площта на тази част и независима от нейната форма и местоположение. Нека събитието А- „удряне на хвърлената точка в зоната ж”, тогава геометричната вероятност за това събитие се определя по формулата:

В общия случай понятието геометрична вероятност се въвежда по следния начин. Означете мярката на площта ж(дължина, площ, обем) през mes g, и мярката на площта г- през мес Г ; нека също А– събитие „хвърляната точка удря зоната ж, която се съдържа в района г". Шанс за удар в зоната жточка, хвърлена в зоната г, се определя по формулата

.

Задача. Квадрат е вписан в кръг. В кръга се хвърля произволно точка. Каква е вероятността точката да падне в квадрата?

Решение.Нека радиусът на окръжността е Р, тогава площта на окръжността е . Диагоналът на квадрат е , тогава страната на квадрата е , а площта на квадрата е . Вероятността за желаното събитие се определя като съотношението на площта на квадрата към площта на кръга, т.е. .

Контролни въпроси

1. Какво се нарича тест (експеримент)?

2. Какво се нарича събитие?

3. Кое събитие се нарича а) надеждно? б) произволен? в) невъзможно?

4. Кои събития се наричат ​​а) несъвместими? б) става?

5. Кои събития се наричат ​​противоположни? А) несъвместими ли са б) съвместното е случайно?

6. Какво се нарича пълна група от случайни събития?

7. Ако всички събития не могат да се случат заедно в резултат на теста, ще бъдат ли несъвместими по двойки?

8. Формирайте събитията Аи цялата група?

9. Какви елементарни резултати благоприятстват това събитие?

10. Коя дефиниция на вероятността се нарича класическа?

11. Какви са границите на вероятността за всяко събитие?

12. При какви условия се прилага класическата вероятност?

13. При какви условия се прилага геометричната вероятност?

14. Коя дефиниция на вероятността се нарича геометрична?

15. Каква е честотата на събитие?

16. Коя дефиниция на вероятността се нарича статистическа?

Контролни задачи

1. От буквите на думата "оранжерия" произволно се извлича една буква. Намерете вероятността тази буква да е гласна. Намерете вероятността това да е буквата "о".

2. Буквите “o”, “p”, “s”, “t” са изписани на еднакви карти. Намерете вероятността думата „въже“ да се появи на картите, подредени произволно в един ред.

3. В отбора има 4 жени и 3 мъже. Сред членовете на бригадата се разиграват 4 билета за театъра. Каква е вероятността сред притежателите на билети да има 2 жени и 2 мъже?

4. Хвърлят се два зара. Намерете вероятността сборът от точките на двата зара да е по-голям от 6.

5. На пет еднакви карти са изписани буквите l, m, o, o, t. Каква е вероятността, като извадим картите една по една на случаен принцип, ще получим думата „чук“ в реда на тяхното пускане ?

6. От 10 билета печелят 2. Каква е вероятността от пет случайно взети билета, един да спечели?

7. Каква е вероятността в произволно избрано двуцифрено число цифрите да са такива, че произведението им да е равно на нула.

8. На случаен принцип се избира число, което не надвишава 30. Намерете вероятността това число да е делител на 30.

9. На случаен принцип се избира число, което не надвишава 30. Намерете вероятността това число да е кратно на 3.

10. На случаен принцип се избира число, което не надвишава 50. Намерете вероятността това число да е просто.

Случайността на настъпването на събитията е свързана с невъзможността да се предвиди предварително резултатът от даден тест. Ако обаче разгледаме например теста: многократно хвърляне на монета, ω 1 , ω 2 , … , ω n , тогава се оказва, че в приблизително половината от резултатите ( н / 2) се намира определен модел, който съответства на концепцията за вероятност.

Под вероятностсъбития Аразбира се някаква числена характеристика на възможността за настъпване на събитие А. Означаваме тази числена характеристика Р(А). Има няколко подхода за определяне на вероятността. Основните са статистически, класически и геометрични.

Нека произведени нтестове и в същото време някакво събитие Адойде нА пъти. номер нА се нарича абсолютна честота(или само честотата) на събитието А, и връзката се нарича относителната честота на възникване на събитие А.Относителна честота на всяко събитие характеризиращ се със следните свойства:

Основата за прилагане на методите на теорията на вероятностите за изследване на реални процеси е обективното съществуване на случайни събития, които имат свойството на честотна стабилност. Многобройни изпитания на проучваното събитие Апокажи това за големи нотносителна честота ( А) остава приблизително постоянно.

Статистическата дефиниция на вероятността се състои във факта, че вероятността за събитие A се приема за постоянна стойност p(A), около която стойностите на относителните честоти се колебаят (А) с неограничено увеличаване на броя на опититен.

Забележка 1. Имайте предвид, че границите на промяна на вероятността за случайно събитие от нула до единица са избрани от B. Pascal за удобство на неговото изчисляване и прилагане. В кореспонденция с П. Ферма Паскал посочва, че всеки интервал може да бъде избран като посочен интервал, например от нула до сто и други интервали. В проблемите по-долу в този урок вероятностите понякога се дават като проценти, т.е. от нула до сто. В този случай процентите дадени в задачите трябва да се превърнат в дялове, т.е. разделете на 100.

Пример 1Проведени 10 серии хвърляния на монети, по 1000 хвърляния във всяка. Стойност ( А) във всяка от сериите е 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Тези честоти се струпват наоколо Р(А) = 0,5.

Този пример потвърждава, че относителната честота ( А) е приблизително равно на Р(А), т.е.

Вероятни билети.

Теория на вероятностите- клон на математиката, който изучава законите на случайните явления: случайни събития, случайни променливи, техните свойства и операции с тях

Теория на вероятноститеизучава случайни явления, случайните явления са тези, които възникват в съвкупности от по-голям брой равни или почти равни обекти и се определят от масовия характер на явлението.

Теория на вероятностите- отразява закономерностите, присъщи на случайни събития от масов характер, като основно тази теория се основава на основните концепции.

Събития и тяхната класификация.

Възможността за определяне на събитие се характеризира с вероятността за събитието.

Където - броят на събитията, представляващи интерес, - броят на наблюдаваните събития.

Достоверно събитиеако вероятността да се случи е 1.

Ненадеждно събитиесе извиква, ако вероятността е 0.

Несъвместими събития- събития, при които 2 от тях не могат да се появят в този експеримент.

Еднакво възможни събития- събития, при които в това преживяване нито едно от тях не е обективно възможно.

Противоположни събития– събития, които образуват пълна група от 2 събития.

Независими събития- тези, при които всяко от двете събития е независимо (Корелация-независимост)

Съвместни събития- такива събития, при които появата на 1 от тях не изключва появата на един друг в едно и също преживяване.

Класически и статистически дефиниции на вероятността за събитие

Всеки от еднакво възможните резултати (експерименти) се нарича елементарен резултат. Обикновено се обозначават с букви. Например хвърля се зар. Може да има шест елементарни резултата според броя на точките на страните.

От елементарни резултати можете да съставите по-сложно събитие. И така, събитието с четен брой точки се определя от три резултата: 2, 4, 6.

Количествена мярка за възможността за настъпване на разглежданото събитие е вероятността.

Две дефиниции на вероятността за събитие са най-широко използвани: класическии статистически.

Класическата дефиниция на вероятността е свързана с понятието за благоприятен изход.

Изходът се нарича благоприятентова събитие, ако настъпването му води до настъпване на това събитие.

В дадения пример разглежданото събитие - четен брой точки на изпуснато лице, има три благоприятни изхода. В този случай общият
броят на възможните резултати. И така, тук можете да използвате класическата дефиниция на вероятността за събитие.

Класическо определение. Вероятността за събитие е равна на съотношението на броя на благоприятните резултати към общия брой възможни резултати

където е вероятността за събитието, е броят на благоприятните резултати за събитието, е общият брой на възможните резултати.

В разглеждания пример

Статистическата дефиниция на вероятността е свързана с концепцията за относителната честота на възникване на събитие в експериментите.

Относителната честота на възникване на събитие се изчислява по формулата

където е броят на възникване на събитие в серия от експерименти (тестове).

Статистическа дефиниция. Вероятността за събитие е числото, спрямо което относителната честота се стабилизира (установява) с неограничено увеличаване на броя на експериментите.

В практическите задачи относителната честота за достатъчно голям брой опити се приема като вероятност за събитие.

От тези дефиниции на вероятността за събитие може да се види, че неравенството винаги е в сила

За да се определи вероятността за събитие въз основа на формула (1.1), формулите на комбинаториката често се използват за намиране на броя на благоприятните резултати и общия брой на възможните резултати.

Пример.Известно е, че от 30 получени шевни машини 10 имат вътрешен дефект. Определете вероятността от партида от 5 коли, взети на случаен принцип, 3 да бъдат без дефекти.

Решение.За да разрешим този проблем, въвеждаме нотация. Нека - общият брой машини, - броят на машините без дефекти, - броят на машините, избрани за партидата, - броят на бездефектните машини в избраната партида.

Общият брой автомобилни комбинации, т.е. общият брой на възможните резултати ще бъде равен на броя на комбинациите от елементи от , т.е. . Но всяка избрана комбинация трябва да съдържа три автомобила без дефекти. Броят на такива комбинации е равен на броя на комбинациите от елементи от , т.е. .

При всяка такава комбинация в избраната партида, останалите дефектни елементи също образуват набор от комбинации, чийто брой е равен на броя на комбинациите от елементи по протежение на , т.е. .

Това означава, че общият брой на благоприятните резултати се определя от продукта. къде ще стигнем

Помислете за произволен експеримент, при който се хвърля зар, изработен от нехомогенен материал. Неговият център на тежестта не е в геометричния център. В този случай не можем да считаме резултатите (превъртане на едно, две и т.н.) за еднакво вероятни. От физиката е известно, че костта ще пада по-често на лицето, което е по-близо до центъра на тежестта. Как да определите вероятността да получите, например, три точки? Единственото нещо, което можете да направите, е да хвърлите този зар n пъти (където n е достатъчно голямо число, да речем n=1000 или n=5000), да преброите броя на хвърлянията на три n 3 и да изчислите вероятността за резултата от хвърляне на три като n 3 /n - относителната честота на три точки. По същия начин можете да определите вероятностите за други елементарни резултати - единици, двойки, четворки и т.н. Теоретично този начин на действие може да бъде оправдан чрез въвеждане на статистическа дефиниция на вероятността.

Вероятността P(w i) се определя като границата на относителната честота на поява на резултата w i в процеса на неограничено увеличаване на броя на произволните експерименти n, т.е.

където m n (wi) е броят на произволните експерименти (от общия брой проведени n произволни експерименти), при които се регистрира появата на елементарен резултат w i.

Тъй като тук не са дадени доказателства, можем само да се надяваме, че границата в последната формула съществува, оправдавайки надеждата с житейски опит и интуиция.

На практика много често възникват проблеми, при които е невъзможно или изключително трудно да се намери друг начин за определяне на вероятността за събитие, освен статистическа дефиниция.

Непрекъснато вероятностно пространство.

Както бе споменато по-рано, наборът от елементарни резултати може да бъде повече от преброим (тоест неизброим). Така че неизброим набор от резултати има експеримент, състоящ се в произволно хвърляне на точка върху сегмент. Може да си представим, че експеримент, състоящ се в измерване на температурата в даден момент в дадена точка, също има неизброим брой резултати (всъщност температурата може да вземе всяка стойност от определен интервал, въпреки че в действителност можем да я измерим само с определена точност и практическото изпълнение на такъв експеримент ще даде краен брой резултати). В случай на експеримент с неизброимо множество W от елементарни резултати, всяко подмножество от множеството W не може да се счита за събитие. Трябва да се отбележи, че подмножества W, които не са събития, са математически абстракции и не се срещат в практически задачи. Следователно този раздел не е задължителен в нашия курс.

За да въведете дефиницията на случайно събитие, разгледайте система (крайна или изчислима) от подмножества на пространството на елементарните резултати W.

Ако са изпълнени две условия:

1) членството на А в тази система предполага членство в тази система;

2) членството на и към тази система предполага членство на A i A j към тази система

такава система от подмножества се нарича алгебра.

Нека W е някакво пространство от елементарни резултати. Уверете се, че двете подмножества системи са:

1) W, Æ; 2) W, A, , Æ (тук A е подмножество на W) са алгебри.

Нека A 1 и A 2 принадлежат на някаква алгебра. Докажете, че A 1 \ A 2 и принадлежат на тази алгебра.

Ние наричаме s-алгебра система I от подмножества на множеството W, отговаряща на условие 1) и условие 2)¢:

2)¢ ако подмножествата А 1 , А 2 ,0, А n , 0 принадлежат на I, то тяхното изброимо обединение (по аналогия със сумирането, това изброимо обединение се записва накратко по формулата ) също принадлежи на I.

Подмножество A от множеството елементарни резултати W е събитие, ако принадлежи на някаква s-алгебра.

Може да се докаже, че ако изберем която и да е изчислима система от събития, принадлежащи на някаква s-алгебра и извършим с тези събития всякакви операции, приети в теорията на множествата (обединение, пресичане, вземане на разликата и допълнение), тогава резултатът ще бъде множество или събитие, принадлежащо към същата s-алгебра.

Нека формулираме аксиома, наречена A.N. Колмогоров.

Всяко събитие съответства на неотрицателно число P(A), което не надвишава единица, наречено вероятност за събитието A, а функцията P(A) има следните свойства:

2) ако събитията A 1 , A 2 ,..., A n , ¼ са несъвместими, тогава

Ако са дадени пространството на елементарните резултати W, алгебрата на събитията и дефинираната върху него функция P, отговаряща на условията на горната аксиома, тогава казваме, че е дадено вероятностно пространство.

Тази дефиниция на вероятностно пространство може да бъде разширена до случая на крайно пространство от елементарни резултати W. Тогава като алгебра можем да вземем системата от всички подмножества на множеството W.

геометрична вероятност

В един специален случай ще дадем правило за изчисляване на вероятността за събитие за случаен експеримент с неизброим набор от резултати.

Ако е възможно да се установи съответствие едно към едно между множеството W от елементарни резултати от случаен експеримент и множеството точки на някаква плоска фигура S (голяма сигма), а също така е възможно да се установи едно към -едно съответствие между набора от елементарни резултати, които благоприятстват събитие A и набора от точки на плоската фигура s (малка сигма), която е част от фигурата S, тогава

където s е площта на фигурата s, S е площта на фигурата S. Тук, разбира се, се разбира, че фигурите S и s имат площи. По-специално, например, фигурата s може да бъде сегмент от права линия, с площ, равна на нула.

Забележете, че в това определение вместо плоска фигура S можем да разгледаме интервала S и вместо неговата част s можем да разгледаме интервала s, който изцяло принадлежи на интервала s, и да представим вероятността като отношение на дължините на съответните интервали.

Пример. Двама души обядват в трапезарията, която работи от 12 до 13 часа. Всеки от тях идва в произволен час и обядва за 10 минути. Каква е вероятността да се срещнат?

Нека x е времето на пристигане на първия в столовата, а y - времето на пристигането на втория.

Възможно е да се установи съответствие едно към едно между всички двойки числа (x;y) (или набор от резултати) и набора от точки на квадрат със страна равна на 1 в координатната равнина, където произходът съответства на числото 12 по оста x и по оста y, както е показано на фигура 6. Тук, например, точка A съответства на резултата, който се състои във факта, че първият дойде в 12.30 часа, а втори - в 13.00ч. В този случай, очевидно, срещата не се е състояла.

Ако първият дойде не по-късно от втория (y ³ x), тогава срещата ще се проведе при условие 0 £ y - x £ 1/6 (10 минути са 1/6 от час).

Ако вторият пристигна не по-късно от първия (x³y), тогава срещата ще се проведе при условие 0 £ x – y £ 1/6..

Може да се установи съответствие едно към едно между набора от резултати, благоприятни за срещата, и набора от точки в региона s, показани в щрихована форма на фигура 7.

Желаната вероятност p е равна на съотношението на площта на областта s към площта на целия квадрат. Площта на квадрат е равна на единица, а площта на областта s може да се определи като разликата между единица и общата площ на двата триъгълника, показани на фигура 7. Това предполага:

Проблеми с решения.

Монета с радиус 1,5 cm се хвърля върху шахматна дъска с ширина на клетката 5 cm. Намерете вероятността монетата да не падне на никоя граница на клетката.

Задача II.

През реката е хвърлен мост с ширина 100 м. В един момент, когато на моста има двама души, мостът се срутва и двамата падат в реката. Първият знае как да плува и ще бъде спасен. Вторият не умее да плува и ще бъде спасен само ако падне на не повече от 10 метра от брега или на не повече от 10 метра от първия. Каква е вероятността вторият човек да бъде спасен?

Задача III.

Противотанковите мини се поставят по права линия на всеки 15 м. Перпендикулярно на тази права се движи танк с ширина 2 м. Каква е вероятността той да не бъде взривен от мина?

Задача VI.

На интервала (0; 2) се избират произволно две числа. Намерете вероятността квадратът на по-голямото число да е по-малък от по-малкото число

Две точки се хвърлят на случаен принцип върху сегмента. Те разделят сегмента на три части. Каква е вероятността получените сегменти да образуват триъгълник?

Задача VI.

Три точки се хвърлят на случаен принцип върху сегмента, една след друга. Каква е вероятността третата точка да попадне между първите две?

Задача I. Позицията на монетата на шахматната дъска се определя изцяло от позицията на нейния геометричен център. Целият набор от резултати може да бъде изобразен като квадрат S със страна 5. След това целият набор от благоприятни резултати се изобразява като квадрат s, лежащ вътре в квадрата S, както е показано на Фигура 1.

Тогава желаната вероятност е равна на съотношението на площта на малкия квадрат към площта на големия квадрат, тоест 4/25

Задача II. С x означаваме разстоянието от левия бряг на реката до точката, където пада първият човек, а с y разстоянието от левия бряг до точката, където пада вторият човек. Очевидно е, че и x, и y принадлежат на интервала (0;100). По този начин можем да заключим, че целият набор от резултати може да бъде показан на квадрат, чийто долен ляв ъгъл лежи в началото на координатите, а горният десен ъгъл лежи в точката с координати (100;100). Две ивици: 0 x, тоест вторият е паднал по-близо до десния бряг от първия, тогава, за да бъде спасен, условието y<х+10. Если ух–10. От гореизложеното следва, че всички резултати, благоприятни за втория човек, са показани в щриховата област на фигура 2. Площта на тази област е най-лесна за изчисляване, като се извади площта на целия квадрат от площта на два незащриховани триъгълника, което води до 10000–6400=3600. Желаната вероятност е 0,36.

Задача III.

Според условието на задачата позицията на резервоара в процепа между две съседни мини се определя изцяло от положението на права линия, равноотдалечена от страните на резервоара. Тази линия е перпендикулярна на линията, по която са положени мините, и резервоарът се взривява от мина, ако тази линия е разположена по-близо от 1 метър от ръба на пролуката. По този начин целият набор от резултати се съпоставя с интервал с дължина 15, а наборът от благоприятни резултати се картографира на интервал с дължина 13, както е показано на фигура 3. Желаната вероятност е 13/15.

Задача IV.

Нека означим едно от числата като x, а другото като y. Целият набор от възможни резултати се картографира в квадрат OBCD, чиито две страни съвпадат с координатните оси и имат дължина, равна на 2, както е показано на фигура 4. Да приемем, че y е по-малко число. След това наборът от резултати се картографира в OCD триъгълник с площ, равна на 2. Избраните числа трябва да отговарят на две неравенства:

в<х, у>х 2

Наборът от числа, удовлетворяващи тези неравенства, е показан в щриховата област на фигура 4. Площта на тази област се определя като разликата между площта на триъгълника OEG, равна на 1/2, и площта на криволинейния триъгълник OFEG Площта s на този криволинеен триъгълник е дадена от

и е равно на 1/3. От тук получаваме, че площта на защрихованата фигура OEF е равна на 1/6. Следователно желаната вероятност е 1/12.

Нека дължината на отсечката е равна на l. Ако вземем за x и y разстоянията от левия край на отсечката до точките, посочени в условието на задачата, тогава множеството от всички резултати може да бъде показано на квадрат със страна l, едната от страните на който лежи върху координатната ос x, а другата върху координатната ос y. Ако приемем условието y>x, тогава наборът от резултати ще бъде показан на триъгълника OBC, показан на фигура 5. Площта на този триъгълник е равна на l 2 /2. Получените сегменти ще имат дължини: x, y-x и l-y. Сега нека разгледаме геометрията. Три отсечки могат да образуват триъгълник, ако и само ако дължината на всеки сегмент е по-малка от сбора от дължините на другите два отсечка. Това условие в нашия случай води до система от три неравенства

Първото неравенство се преобразува във вида x l/2, а третото неравенство - към вида y<х+l/2. Множество пар чисел х, у, являющееся решением системы неравенств отображается в заштрихованный треугольник на рисунке 5. Площадь этого треугольника в 4 раза меньше площади треугольника OВС. Отсюда следует, что ответ задачи составляет 1/4.

Задача VI.

Да вземем дължината на отсечката като l. Нека разстоянието от левия край на отсечката до първата точка е x, до втората точка - y и до третата точка - z. Тогава целият набор от резултати се картографира в куб, три ръба на който лежат върху осите x, y и z на правоъгълна координатна система и с ръб с дължина l. Да кажем y>x. Тогава наборът от резултати ще бъде показан в директната призма ABCA 1 B 1 C 1, показана на фигура 6. Условието z>x означава, че всички резултати ще бъдат показани в областта, лежаща над равнината AD 1 C 1 B, показана на фигура 7. В тази равнина вече всички валидни резултати ще бъдат показани в пирамида с квадрат AA 1 B 1 B в основата и с височина B 1 C 1 . Всички резултати отговарят на условие z

Задачи за самостоятелно решаване.

1. Два парахода трябва да се приближат до един и същ кей. Времето на пристигане на двата кораба е независимо и еднакво възможно през дадения ден. Определете вероятността един от параходите да изчака освобождаването на койката, ако първият параход остане един час, а вторият – два часа. Отговор: 139/1152.

2. На кръстовището е монтиран автоматичен светофар, в който една минута свети зелена и половин минута червена, след това отново една минута - зелена и червена половин минута и т.н. В произволен момент кола спира до кръстовището. Каква е вероятността той да премине кръстовището без да спре? Отговор: 2/3

3. Монета с радиус 1,5 см се хвърля върху безкрайна шахматна дъска с ширина на клетката 5 см. Намерете вероятността монетата да се намира в не повече от две клетки на шахматната дъска. Отговор: 16/25.

4. В кръга се въвежда произволно триъгълник. Каква е вероятността тя да е остра? Отговор: 1/4.

5. В кръга се въвежда произволно триъгълник. Каква е вероятността тя да е правоъгълна? Отговор: 0.

6. Пръчка с дължина a се разделя произволно на три части. Намерете вероятността дължината на всяка част да е по-голяма от a/4. Отговор: 1/16.

Класическо и статистическо определение на вероятността. геометрична вероятност.

Основната концепция на теорията на вероятностите е концепцията за случайно събитие. Случайно събитие е събитие, което при определени условия може или не може да се случи. Например, удрянето или пропускането на обект при стрелба по този обект с дадено оръжие е случайно събитие.

Събитие се нарича сигурно, ако в резултат на теста то непременно настъпи. Невъзможно събитие е събитие, което в резултат на тест не може да се случи.

Казва се, че случайните събития са непоследователни в даден опит, ако не могат да се появят две от тях заедно.

Случайните събития образуват пълна група, ако при всеки опит може да се появи някое от тях и не може да се появи друго събитие, което да е в противоречие с тях.

Помислете за пълната група от еднакво възможни несъвместими случайни събития. Такива събития ще се наричат ​​резултати. Резултатът се нарича благоприятен за настъпването на събитие А, ако настъпването на това събитие води до настъпване на събитие А.

Вероятността за събитие A е съотношението на броя m резултати, благоприятни за това събитие, към общия брой n на всички еднакво възможни несъвместими елементарни резултати, които образуват пълна група

Геометричната вероятност е един от начините за определяне на вероятността; нека Ω е ограничено множество от евклидово пространство с обем λ(Ω) (съответно дължина или площ в едномерна или двумерна ситуация), нека ω е точка, взета произволно от Ω, нека вероятността точката да бъде взето от подмножество да бъде пропорционално на неговия обем λ (x), тогава геометричната вероятност на подмножество се дефинира като съотношение на обемите: Геометричната дефиниция на вероятността често се използва в методите на Монте Карло, например, за приближаване на стойностите на множество определени интеграли.

Теореми за събиране и умножение на вероятности

Теореми за събиране и умножение на вероятности

Сборът от две събития A и B е събитието C, което се състои в настъпване на поне едно от събитията A или B.

Теорема за събиране

Вероятността за сбора от две несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития:

P (A + B) = P (A) + P (B).

В случай, когато събития A и B са съвместни, ver-тата от тяхната сума се изразява с формулата

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB),

където AB е произведението на събития A и B.

За две събития се казва, че са зависими, ако вероятността за едно от тях зависи от възникването или ненастъпването на другото. в случай на зависими събития се въвежда концепцията за условната вероятност за събитие.

Условната вероятност P(A/B) за събитие A е вероятността за събитие A, изчислена, като се приеме, че събитие B е настъпило. По подобен начин P(B/A) означава условната вероятност за събитие B, при условие че събитието A е настъпило.

Произведението на две събития A и B е събитието C, което се състои в съвместната поява на събитието A и събитието B.

Теорема за умножение на вероятностите

Вероятността за произведението на две събития е равна на ver-ty на едно от тях, умножена по условната вероятност на другото в присъствието на първото:

P (AB) \u003d P (A) P (B / A) или P (AB) = P (B) P (A / B).

Последица. Вероятността за съвместно настъпване на две независими събития A и B е равна на произведението на вероятностите за тези събития:

P (AB) \u003d P (A) P (B).

Последица. В случай на n идентични независими опита, във всяко от които събитие A се появява с вероятност p, вероятността за настъпване на събитие A поне веднъж е равна на 1 - (1 - p)n

Вероятността да се случи поне едно събитие. Пример. формула на Байес.

Вероятността да направите поне една грешка на страницата на тетрадката е p=0,1. В тетрадката има 7 написани страници. Каква е вероятността P да има поне една грешка в тетрадката?

Вероятността за настъпване на събитие A, състоящо се от събития A1, A2, ..., An, независими в съвкупността, е равна на разликата между единица и произведението на вероятностите за противоположни събития Ǡ1, Ǡ2, ... Ǡn.

P(A) = 1 - q1q2…qn

Вероятност за обратното събитие q = 1 - p.

По-специално, ако всички събития имат еднаква вероятност, равна на p, тогава вероятността за настъпване на поне едно от тези събития е равна на:

P(A) = 1 - qn = 1 - (1 - p)n = 1 - (1 - 0,1)7 = 0,522

Отговор: 0,522

формула на Байес.

Нека приемем, че се провежда някакъв експеримент и за условията за провеждането му могат да бъдат формулирани n уникални и несъвместими хипотези с вероятности Нека събитието А се случи или не се случи в резултат на експеримента и е известно, че ако експериментът се случва, когато хипотезата е изпълнена, тогава вероятностите на хипотезите, ако е станало известно, че се е случило събитие А? С други думи, ние се интересуваме от вероятностите. Въз основа на отношения (4) и (5) имаме откъде Но според формулата на общата вероятност, следователно Формула (12) се нарича формула на Байес*.

6. Формула на Бернули. Примери.

Формулата на Бернули е формула в теорията на вероятностите, която ви позволява да намерите вероятността събитие А да се случи в независими опити. Формулата на Бернули ви позволява да се отървете от голям брой изчисления - събиране и умножение на вероятности - с достатъчно голям брой тестове. Кръстен на изключителния швейцарски математик Якоб Бернули, който е разработил формулата.

Формулировка

Теорема: Ако вероятността p за настъпване на събитието Α във всеки опит е постоянна, тогава вероятността събитието A ще се случи k пъти в n независими опита е равна на: където. .

Доказателство

Тъй като в резултат на независими тестове, проведени при едни и същи условия, събитие се случва с вероятност , следователно, обратното събитие с вероятност Да обозначим настъпването на събитие в теста с число.Тъй като условията за провеждане на експериментите са еднакви, тези вероятности са равни. Нека събитието се случи веднъж в резултат на експериментите, след което през останалите пъти това събитие не се случва. Едно събитие може да се появи веднъж в тестове в различни комбинации, чийто брой е равен на броя на комбинациите от елементи от. Този брой комбинации се намира по формулата: Вероятността за всяка комбинация е равна на произведението на вероятностите: Прилагайки теоремата за добавяне за вероятностите за несъвместими събития, получаваме окончателната формула на Бернули:

Локални и интегрални теореми на Лаплас. Примери.

Локални и интегрални теореми на Лаплас

Локална теорема на Лаплас. Вероятността при n независими опита, при всяко от които вероятността за настъпване на събитие е равна на p(0< р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)
За да определите стойностите на φ(x), можете да използвате специална таблица.

Интегрална теорема на Лаплас. Вероятността при n независими опита, при всяко от които вероятността за настъпване на събитие е равна на p (0< р < 1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна

P(k1;k2)=Φ(x"") - Φ(x")

Тук -Функция Лаплас Стойностите на функцията Лаплас се намират според специална таблица.

Пример. Намерете вероятността събитие А да се случи точно 70 пъти в 243 опита, ако вероятността това събитие да се случи във всеки опит е 0,25.

Решение. По условие, n=243; k = 70; р=0,25; q= 0,75. Тъй като n=243 е доста голямо число, ние използваме локалната теорема на Лаплас: където x = (k-np)/ √npq.

Намерете стойността на x Според таблицата n намираме f (1.37) \u003d 0.1561. Желана вероятност

P(243)(70) = 1/6,75*0,1561 = 0,0231.

Числови характеристики на дискретни величини. Примери

Числени характеристики на дискретни случайни променливи

Законът за разпределението напълно характеризира случайната величина. Когато обаче е невъзможно да се намери законът на разпределението или това не се изисква, човек може да се ограничи до намиране на стойности, наречени числови характеристики на произволна променлива. Тези количества определят някаква средна стойност, около която се групират стойностите на произволна променлива, и степента на тяхната дисперсия около тази средна стойност.

Определение. Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от произведенията на всички възможни стойности на случайната променлива и техните вероятности.

Математическото очакване съществува, ако редът от дясната страна на равенството се сближава абсолютно.

От гледна точка на вероятността можем да кажем, че математическото очакване е приблизително равно на средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива.

теоретични моменти. Примери.

Идеята на този метод е да приравни теоретичните и емпиричните моменти. Затова започваме с обсъждането на тези понятия.

Позволявам -- независима извадка от разпределението, зависимо от неизвестен параметър Теоретичният момент от порядък е функцията където е произволна променлива с функция на разпределение. Специално отбелязваме, че теоретичният момент е функция на неизвестни параметри, доколкото разпределението зависи от тези параметри. Ще приемем, че математическите очаквания съществуват поне за емпиричния момент от т. ред Имайте предвид, че по дефиниция емпиричните моменти са функции на извадката. забележи това е добре познатата извадкова средна стойност.

За да се намерят оценки на неизвестни параметри с помощта на метода на моментите, трябва:

изрично изчислете теоретичните моменти и постройте следната система от уравнения за неизвестните променливи

В тази система се считат за фиксирани параметри.

решаване на система (35) по отношение на променливи Тъй като дясната страна на системата зависи от извадката, резултатът ще бъде функции на Това са желаните оценки на параметрите по метода на моментите.

12. Неравенство на Чебишев. Законът за големите числа.

Неравенството на Чебишев, известно още като неравенството на Биенеме-Чебишев, е често срещано неравенство в теорията на мерките и теорията на вероятностите. За първи път е получен от Биенаме (френски) през 1853 г., а по-късно и от Чебишев. Неравенството, използвано в теорията на мерките, е по-общо; в теорията на вероятностите се използва неговото следствие.

Неравенството на Чебишев в теорията на мярката

Неравенството на Чебишев в теорията на мярката описва връзката между интеграла на Лебег и мярката. Аналог на това неравенство в теорията на вероятностите е неравенството на Марков. Неравенството на Чебишев се използва и за доказване на вграждането на пространство в слабо пространство

Формулировка

Нека е пространство с мярка. Нека също

сумируеми по функция

Тогава неравенството е вярно:

По-общо:

Ако е неотрицателна реална измерима функция, която не е намаляваща в областта на дефиницията, тогава По отношение на пространството Нека Тогава

Неравенството на Чебишев в теорията на вероятностите

Неравенството на Чебишев в теорията на вероятностите гласи, че произволната променлива основно приема стойности, близки до нейната средна стойност. По-точно, той дава оценка на вероятността случайна променлива да приеме стойност, която е далеч от нейната средна стойност. Неравенството на Чебишев е следствие от неравенството на Марков.

Формулировка

Нека произволна променлива е дефинирана на вероятностно пространство и нейното математическо очакване и дисперсия да са крайни. Тогава където Ако , къде е стандартното отклонение и , тогава получаваме По-специално, случайна променлива с крайна дисперсия се отклонява от средната стойност с повече от стандартни отклонения с вероятност по-малка от . Тя се отклонява от средната стойност със стандартни отклонения с вероятност по-малка от .

Закон за големите числа

Основните понятия на теорията на вероятностите са понятията за случайно събитие и случайна променлива. В същото време е невъзможно да се предвиди предварително резултатът от теста, при който едно или друго събитие или някаква специфична стойност на произволна променлива може да се появи или не, тъй като резултатът от теста зависи от много случайни причини, които не може да се вземе предвид.

При многократно повтаряне на тестовете обаче се наблюдават закономерности, характерни за масовите случайни явления. Тези модели имат свойството на стабилност. Същността на това свойство е, че специфичните характеристики на всяко отделно случайно явление почти не влияят върху средния резултат от голям брой подобни явления, а характеристиките на случайни събития и случайни променливи, наблюдавани в тестове, с неограничено увеличение на брой тестове, стават практически неслучайни.

Нека се проведе голяма серия от експерименти от същия тип. Резултатът от всяко отделно преживяване е случаен, неопределен. Въпреки това, средният резултат от цялата серия експерименти губи своя произволен характер и става редовен.

За практиката е много важно да познава условията, при които кумулативното действие на много случайни причини води до резултат, който е почти независим от случайността, тъй като позволява да се предвиди хода на явленията. Тези условия са посочени в теоремите, носещи общото име на закона за големите числа.

Законът за големите числа не трябва да се разбира като един общ закон, свързан с големи числа. Законът за големите числа е обобщено име за няколко теореми, от които следва, че при неограничено увеличаване на броя на опитите средните стойности клонят към някои константи.

Те включват теоремите на Чебишев и Бернули. Теоремата на Чебишев е най-общият закон за големите числа, теоремата на Бернули е най-простата.

Основата на доказателството на теоремите, обединени от термина "закон за големи числа", е неравенството на Чебишев, което установява вероятността за отклонение от математическото му очакване:

Математическа формулировка

Необходимо е да се определи максимума на линейната целева функция (линейна форма) при условията Понякога се налага и определен набор от ограничения под формата на равенства, но можете да се отървете от тях, като последователно изразите една променлива чрез други и я замените във всички други равенства и неравенства (както и във функцията ). Такъв проблем се нарича "основен" или "стандартен" в линейното програмиране.

Геометричен метод за решаване на задачи за линейно програмиране за две променливи. Пример.

Област на решение на линейно неравенство с две променливи е половин самолет. За да определите коя от двете полуравнини съответства на това неравенство, трябва да го приведете до формата или Тогава желаната полуравнина в първия случай се намира над правата a0 + a1x1 + a2x2 = 0, а в вторият - под него. Ако a2=0, тогава неравенството (8) има вида ; в този случай получаваме или - дясната полуравнина, или - лявата полуравнина.

Областта на решението на системата от неравенства е пресечната точка на краен брой полуравнини, описани от всяко отделно неравенство. Това пресичане е многоъгълна област G. Тя може да бъде както ограничена, така и неограничена, и дори празна (ако системата от неравенства е непоследователна).
Ориз. 2

Областта на решението G има важното свойство на изпъкналост. Площта се нарича изпъкнала, ако две от нейните точки могат да бъдат свързани с отсечка, която изцяло принадлежи на тази област. На фиг. 2 показва изпъкнала област G1 и не-изпъкнала област G2. В областта G1 две от нейните произволни точки A1 и B1 могат да бъдат свързани с отсечка, всички точки от която принадлежат на областта G1. В областта G2 може да се изберат две от нейните точки A2 и B2, така че не всички точки от отсечката A2B2 да принадлежат на областта G2.

Референтна линия е линия, която има поне една обща точка с региона, докато целият регион е разположен от едната страна на тази линия. На фиг. Фигура 2 показва две референтни линии l1 и l2, т.е. в този случай линиите минават съответно през върха на многоъгълника и през една от неговите страни.

По подобен начин може да се даде геометрична интерпретация на система от неравенства с три променливи. В този случай всяко неравенство описва полупространство, а цялата система описва пресечната точка на полупространствата, т.е. полиедър, който също има свойството на изпъкналост. Тук референтната равнина минава през връх, ръб или лице на полиедралната област.

Въз основа на въведените понятия разглеждаме геометричен метод за решаване на задача за линейно програмиране. Нека е дадена линейна целева функция f = c0 + c1x1 + c2x2 от две независими променливи, както и някаква съвместна система от линейни неравенства, описващи областта на решенията G. Измежду възможните решения се изисква да се намери такова, за което линейната целевата функция f приема най-малката стойност.

Нека функцията f е равна на някаква постоянна стойност C: f = c0 + c1x1 + c2x2 = C. Тази стойност се достига в точките на правата, които удовлетворяват уравнението. Ако тази права се транслира успоредно в положителната посока на нормата вектор n(c1,c2), линейната функция f ще се увеличи, а когато се пренесе в обратна посока, тя намалява.

Да предположим, че правата линия, записана във формата (9) , с успоредна транслация в положителната посока на вектора n, първо среща областта на възможните решения G в някои от своите върхове, докато стойността на целевата функция е равна на C1, а правата става референтна. Тогава стойността на C1 ще бъде минимална, тъй като по-нататъшното движение на правата линия в същата посока ще увеличи стойността на f.

По този начин оптимизирането на линейната целева функция върху многоъгълника на възможните решения се извършва в точките на пресичане на този многоъгълник с опорните линии, съответстващи на дадената целева функция. В този случай пресечната точка може да бъде в една точка (на върха на многоъгълника) или в безкраен брой точки (на ръба на многоъгълника).

Алгоритъм на симплексен метод за решаване на обща задача за линейно програмиране. Таблица.

Алгоритми за решение

Най-известният и широко използван в практиката за решаване на общата задача на линейното програмиране (LP) е симплексният метод. Въпреки факта, че симплексният метод е доста ефективен алгоритъм, който е показал добри резултати при решаване на приложени LP проблеми, това е алгоритъм с експоненциална сложност. Причината за това е комбинаторният характер на симплексния метод, който последователно изброява върховете на полиедъра на допустимите решения, докато се търси оптималното решение.

Първият полиномиален алгоритъм, елипсоидният метод, е предложен през 1979 г. от съветския математик Л. Хачиян, като по този начин е решен проблем, който остава нерешен дълго време. Елипсоидният метод има напълно различен, некомбинаторен характер от симплексния метод. Въпреки това, в изчислително отношение този метод се оказа необещаващ. Въпреки това самият факт на полиномиалната сложност на задачите доведе до създаването на цял клас ефективни LP алгоритми - вътрешни точкови методи, първият от които беше алгоритъмът на Н. Кармаркар, предложен през 1984г. Алгоритмите от този тип използват непрекъсната интерпретация на LP задачата, когато вместо изброяване на върховете на многогранника на решенията на LP задачата се извършва търсене по траектории в пространството на променливите на задачата, които не преминават през върховете на многогранника. Методът на вътрешната точка, който, за разлика от симплексния, заобикаля точки от вътрешността на диапазона на толеранса, използва нелинейно програмиращи методи на логаритмична бариерна функция, разработени през 60-те години на миналия век от Fiacco и McCormick.

24. Специални случаи в симплексния метод: изродено решение, безкраен набор от решения, без решение. Примери.

Използване на метода на изкуствената основа за решаване на обща задача за линейно програмиране. Пример.

Метод на изкуствена основа.

Методът на изкуствената основа се използва за намиране на приемливо основно решение на проблем с линейно програмиране, когато има ограничения от типа на равенството в условието. Помислете за проблема:

max(F(x)=∑cixi|∑ajixi=bj, j=1,m; xi≥0).

Така наречените "изкуствени променливи" Rj се въвеждат в ограниченията и в целевата функция, както следва:

∑ajix+Rj=bj, j=1,m;F(x)=∑cixi-M∑Rj

Когато изкуствените променливи се въвеждат в метода на изкуствената база, на целевата функция се приписва достатъчно голям коефициент M, което има значението на наказание за въвеждане на изкуствени променливи. В случай на минимизиране към целевата функция се добавят изкуствени променливи с коефициент M. Въвеждането на изкуствени променливи е допустимо, ако в процеса на решаване на задачата те постоянно изчезват.

Симплексната таблица, която се компилира по време на процеса на решаване с помощта на метода на изкуствената основа, се нарича разширена. Той се различава от обичайния по това, че съдържа два реда за целевата функция: единият за компонента F = ∑cixi, а другият за компонента M ∑Rj Нека разгледаме процедурата за решаване на задачата с помощта на конкретен пример.

Пример 1. Намерете максимума на функцията F(x) = -x1 + 2x2 - x3 при ограниченията:

x1≥0, x2≥0, x3≥0 .

Прилагаме метода на изкуствената основа. Нека въведем изкуствени променливи в ограниченията на проблема

2x1 + 3x2 + x3 + R1 = 3;

x1 + 3x3 + R2 = 2 ;

Целева функция F(x)-M ∑Rj= -x1 + 2x2 - x3 - M(R1+R2).

Нека изразим сумата R1 + R2 от системата на ограниченията: R1 + R2 = 5 - 3x1 - 3x2 - 4x3, тогава F(x) = -x1 + 2x2 - x3 - M(5 - 3x1 - 3x2 - 4x3) .

При съставянето на първата симплексна таблица (Таблица 1) ще приемем, че изходните променливи x1, x2, x3 са неосновни, а въведените изкуствени променливи са основни. При задачи за максимизиране знакът на коефициентите за неосновни променливи в F- и M-редовете е обърнат. Знакът на постоянната стойност в M-линията не се променя. Оптимизацията се извършва първо по M-линията. Изборът на водеща колона и ред, всички симплексни трансформации при използване на метода на изкуствената основа се извършват както при обичайния симплекс метод. Максималният отрицателен коефициент (-4) в абсолютна стойност определя водещата колона и променливата x3, която ще влезе в основата. Минималното симплексно съотношение (2/3) съответства на втория ред на таблицата, следователно променливата R2 трябва да бъде изключена от базата. Очертава се водещият елемент.
При метода на изкуствената база изкуствените променливи, изключени от базата, вече не се връщат към нея, така че колоните с елементи на такива променливи се пропускат. Раздел. 2. намален с 1 колона. Извършвайки преизчисляването на тази таблица, отидете на таблицата. 3., в която линията M е настроена на нула, тя може да бъде премахната. След изключване на всички изкуствени променливи от базата, получаваме приемливо основно решение на оригиналния проблем, което в разглеждания пример е оптимално:

x1=0; x2=7/9; Fmax=8/9.

Ако решението не е оптимално при елиминиране на M-реда, тогава процедурата по оптимизация продължава и се извършва по обичайния симплекс метод. Помислете за пример, в който има ограничения от всички видове: ≤,=,≥

Двойни симетрични задачи на линейното програмиране. Пример.

Двойна дефиниция на проблема

Всеки проблем на линейното програмиране може да бъде свързан по определен начин с някакъв друг проблем (на линейното програмиране), наречен двоен или свързан по отношение на оригиналния или директен проблем. Нека дефинираме двойния проблем по отношение на общия проблем за линейно програмиране, който, както вече знаем, се състои в намиране на максималната стойност на функция при условията

се нарича двойствен по отношение на задача (32) – (34). Задачи (32) - (34) и (35) - (37) образуват двойка задачи, наречени в линейното програмиране двойна двойка. Сравнявайки двата формулирани проблема, виждаме, че двойният проблем е съставен по следните правила:

1. Целевата функция на оригиналната задача (32) - (34) е зададена на максимум, а целевата функция на двойната (35) - (37) е настроена на минимум.

2. Матрица съставен от коефициенти за неизвестни ограничения в системата (33) на оригиналния проблем (32) – (34), и подобна матрица в двойната задача (35) - (37) се получават един от друг чрез транспониране (т.е. заместване на редове с колони и колони с редове).

3. Броят на променливите в двойната задача (35) - (37) е равен на броя на ограниченията в системата (33) на първоначалната задача (32) - (34) и на броя на ограниченията в системата (36) на двойната задача е равно на броя на променливите в оригиналната задача.

4. Коефициентите на неизвестните в целевата функция (35) на двойната задача (35) - (37) са свободни членове в системата (33) на оригиналната задача (32) - (34) и десните части в отношенията на системата (36) на двойната задача са коефициенти за неизвестни в целевата функция (32) на изходната задача.

5. Ако променливата xj на първоначалната задача (32) - (34) може да приема само положителни стойности, то j-то условие в системата (36) на двойната задача (35) - (37) е неравенство от вида “? ". Ако променливата xj може да приема както положителни, така и отрицателни стойности, тогава 1 - отношението в системата (54) е уравнение. Подобни връзки се осъществяват между ограниченията (33) на първоначалната задача (32) – (34) и променливите на двойната задача (35) – (37). Ако i - съотношението в системата (33) на първоначалната задача е неравенство, тогава i-тата променлива на двойната задача . В противен случай променливата yj може да приеме както положителни, така и отрицателни стойности.

Двойните двойки проблеми обикновено се подразделят на симетрични и асиметрични. В симетрична двойка двойни задачи, ограниченията (33) на първичния проблем и отношенията (36) на двойния проблем са неравенства от вида “ ”. По този начин променливите и на двата проблема могат да приемат само неотрицателни стойности.

Връзка между променливи на директен и двоен проблем. Пример.

30. Икономическа интерпретация на двойните задачи. Стойността на нулевите оценки при решаване на икономически проблем. Примери.

Първоначалната задача имах специфично икономическо значение: основните променливи xi означаваха количеството продукти от i-ти тип, допълнителните променливи означаваха количеството на излишъка от съответния вид ресурс, всяко от неравенствата изразяваше потреблението на определен вид суровина в сравнение със запасите от тази суровина. Целевата функция определя печалбата от продажбата на всички продукти. Да предположим сега, че компанията има възможността да продава суровини настрани. Каква минимална цена трябва да се определи за единица от всеки вид суровина, при условие че доходът от продажбата на всички негови резерви е не по-малък от дохода от продажбата на продукти, които могат да бъдат произведени от тази суровина.

Променливите y1, y2, y3 ще означават условната прогнозна цена за ресурс 1, 2, 3, съответно. Тогава доходът от продажба на суровини, използвани за производството на една единица продукция I, е равен на: 5y1 + 1 · y3. Тъй като цената на продуктите от тип I е равна на 3 единици, тогава 5y1 + y3 3, поради факта, че интересите на предприятието изискват доходът от продажбата на суровини да бъде не по-малък от този от продажбата на продукти. Именно поради тази икономическа интерпретация системата от ограничения на двойния проблем приема формата: А целевата функция G = 400y1 + 300y2 + 100y3 изчислява условната обща цена на всички налични суровини. Ясно е, че по силата на теоремата за двойствеността I, равенството F(x*) = G(y*) означава, че максималната печалба от продажбата на всички готови продукти съвпада с минималната условна цена на ресурсите. Условните оптимални цени yi показват най-ниската цена на ресурсите, при която е изгодно тези ресурси да се превърнат в продукти, да се произвеждат.

Нека отново обърнем внимание на факта, че yi са само условни, предполагаеми, а не реални цени на суровините. В противен случай на читателя може да изглежда странно, че например y1* = 0. Този факт изобщо не означава, че реалната цена на първия ресурс е нула, няма нищо безплатно на този свят. Равенството на нула на условната цена означава само, че този ресурс не е изразходван напълно, той е в излишък, а не в недостиг. Наистина, нека разгледаме първото неравенство в системата от ограничения на задача I, в която се изчислява потреблението на първия ресурс: 5x1* + 0,4x2* + 2x3* + 0,5x4* = 66< 400. его избыток составляет х5 = 334 ед. при данном оптимальном плане производства. Этот ресурс имеется в избытке, и поэтому для производителя он недефицитен, его условная цена равна 0, его не надо закупать. Наоборот, ресурс 2 и 3 используются полностью, причем у3 = 4 а у2 = 1, т. е. сырье третьего вида более дефицитно, чем второго, его условная цена больше. Если производитель продукции имел бы возможность приобретать дополнительно сырье к уже имеющемуся, с целью получения максимального дохода от производства, то увеличив сырье второго вида на единицу, он бы получил дополнительно доход в у2 денежных единиц, с увеличением на единицу сырья третьего вида, значение целевой функции увеличилось бы еще на у3 единицы.

Ако производителят е изправен пред въпроса, "изгодно ли е да произвежда някакъв продукт, при условие че цената на единица продукция е съответно 3, 1, 4 единици от 1-ви, 2-ри, 3-ти видове суровини и печалбата от продажби е 23 единици", тогава По силата на икономическата интерпретация на проблема не е трудно да се отговори на този въпрос, тъй като разходите и условните цени на ресурсите са известни. Разходите са 3, 1, 4, а цените y1* = 0, y2* = 1, y3* = 4. И така, можем да изчислим общата условна цена на ресурсите, необходими за производството на този нов продукт: 3 0 + 1 1 + 4 4 = 17< 23. значит продукцию производить выгодно, т. к. прибыль от реализации превышает затраты на ресурсы, в противном случае ответ бы на этот вопрос был отрицательным.

31. Използване на оптималния план и симплексна таблица за определяне на интервалите на чувствителност на изходните данни.

32.Използване на оптимален дизайн и симплексна таблица за анализ на чувствителността на целевата функция. Пример.

Транспортен проблем и неговите свойства. Пример.