Определение. Ако всеки от двата полинома е разделена без остатък на третото, то се нарича общ делител на първите две.

Най-големият общ делител (възел) две полиноми се наричат \u200b\u200bобща степен делител.

Възелът може да бъде намерен чрез разлагане на невъзстановени мултипликатори или с помощта на алгоритъма на евклидея.

Пример 40.Намерете възел планина
.

Решение.Разлагаме и много полиноми на множителите:

От разлагането може да се види, че необходимия възел ще бъде полином ( х.– 1).

Пример 41.Намерете полиноми от възел
и
.

Решение.Разлагаме и полиноми на множителите.

За полином
х.х.- 1) съгласно схемата Horner.

За полином
възможните рационални корени ще бъдат номера1, 2, 3 и 6. С помощта на заместването, ние сме убедени х.\u003d 1 е коренът. Разделяме полиномата ( х.- 1) съгласно схемата Horner.

Следователно, когато разграждането на квадрата три
тя е произведена на теоремата на Виета.

Чрез сравняване на разграждането на полиноми към множителите, ние откриваме, че желаният възел ще бъде полином ( х.– 1)(х.– 2).

По същия начин можете да намерите възел за няколко полинома.

Въпреки това, методът за намиране на възел чрез разширяване на факторите не винаги е на разположение. Начин за намиране на възел за всички случаи се нарича алгоритъм на еуклид.

Диаграмата на алгоритъма на евклидея е. Един от двата полинома трябва да бъде разделена на друга, чиято степен не надвишава степента на първата. Освен това, за делимост всеки път, когато приемат полином, който служи в предходната операция от разделителя, а за дивизора отнема остатъка, получен на същата операция. Този процес спира веднага след като остатъкът се окаже нула. Покажете този алгоритъм в примерите.

Помислете за полиномите, използвани в двата предишни примера.

Пример 42.Намерете полиноми от възел
и
.

Решение.Отслабване
на
"Ъгъл":

х.

Сега разделяме разделителя
на почивка х.– 1:

х.+ 1

Тъй като последното разделение се е случило без остатък, тогава възелът ще бъде х.- 1, т.е., полиномът, използван като разделител с това разделение.

Пример 43.Намерете полиноми от възел
и
.

Решение. За да намерите възела, ние използваме алгоритъма на евклидея. Отслабване
на
"Ъгъл":

1

Ще произведем втората дивизия. Да направите това, ще трябва да разделят предишния делител
на почивка
, но от
=
За удобство ще разделим полиномната
не на
, А.
. От такава подмяна решението на проблема няма да се промени, тъй като възел двойките полиноми се определят с точност на постоянен мултипликатор. Ние имаме:

Остатъкът е равен на нула, това означава, че последният разделител, т.е. полином

и това ще бъде желаният възел.

1. Фракционни рационални функции

Дефинициите и одобрението до 2.5 могат да бъдат намерени в.

Фракционна рационална функция с валидни коефициенти се нарича израз където
и
- полиноми.

Фракционна рационална функция (в бъдеще ще го наречем "фракция") дясноАко степента на полиномна стояща в числатора е строго по-малка от степента на полином в знаменателя. В противен случай се нарича погрешно.

Алгоритъмът за повдигане на грешната фракция към правилното се нарича "разпределение на цялата част".

Пример 44.Разпределят цялата част на Fraci:
.

Решение.За да се разграничи цялата част от фракцията, е необходимо да се раздели числителят на фракцията към нейния знаменател. Разделяме числителя на тази фракция на своя деноминатор "ъгъл":

Тъй като степента на получения полином е по-малка от степента на разделител, процесът на разделяне е завършен. В крайна сметка:

=
. Получаване на фракция
така е правилно.

Фракция от тип
наречен най-прост, ако φ ( х. ) - невъзможен полином и степен
по-малка степен ( х. ).

Коментар.Моля, обърнете внимание, че степента на числителя и неудържимият полином в знаменателя (с изключение на степен α) се сравняват.

За фракции с валидни коефициенти има 4 вида прости фланелки:

Всяка правилна фракция може да бъде представен под формата на сумата на най-простите фракции, чиито знаменатели са всякакви разделители
.

Алгоритъмът на разпадане на фракцията на най-простия:

Ако фракцията е неправилна, тогава разпределяме цялата част, и на най-простите, ние поставяме правилната фракция.

Отключете знаменателя на правилната фракция за мултипликатори.

Записваме правилната фракция под формата на сумата на най-простите фракции с несигурни коефициенти.

Ние водим до общ знаменател количеството фракции в дясната страна.

Ние откриваме неопределени коефициенти:

Или приравняват коефициентите със същите степени от лявата и дясната ръка;

Или заместващи специфичните (като правило корените на общите стойности на знаменателя) х..

Ние записваме отговора, като се вземат предвид цялата част от фракцията.

Пример 45.Изпращане на най-простия
.

Решение.Тъй като тази фракционна рационална функция е неправилна, подчертаваме цялата част:

1

= 1 +
.

Разпространете получената фракция
на най-простия. Първоначално знаменателят ще се разложи на множителите. За да направите това, намерете корените му съгласно стандартната формула:

Пишем разлагането на фракционна рационална функция към най-простите с помощта на неопределени коефициенти:

Нека дадем дясната част на равенството на общия знаменател:

Ние правим система, приравняваме коефициентите със същите степени в числите на лявата и дясната фракции:

Отговор:
.

Пример 46.Изпращане на най-простия
.

Решение.Тъй като тази фракция е правилна (т.е. степента на числител е по-малка от степента на знаменател), не е необходимо да се разпредели цялата част. Разпространение на знаменателя на фракциите на множителите:.

Ние пишем разлагането на тази фракция за най-простите използвайки несигурни коефициенти:

Според одобрението знаменателите на най-простите фракции трябва да бъдат всички видовепоказатели на Деномотър:

. (2.2) Би било възможно да се направи система от уравнения, приравнявайки числителите на лявата и дясната фракции, но в този пример изчислението ще бъде твърде тромаво. Следващото приемане ще ви помогне да ги опростят: ние ще заменим в номераторите от своя страна на корена на знаменателя.

За x \u003d1:

За х.= ‑1:

Сега да се определят останалите коефициенти НОи Отще бъде достатъчно да приравнят коефициентите с висока степен и свободни членове. Те могат да бъдат намерени без отваряне на скоби:

В лявата страна на първото уравнение е 0, тъй като в числителя на лявата фракция в (2.2) няма основание с и в правилната част от основата коефициент А. + ° С.. В лявата част на второто уравнение тя е 0, тъй като в лявата част на фракцията в (2.2) свободният елемент е нула, а дясната фракция в (2.2) е безплатен член равен (- А. + Б. + ° С. + Д.). Ние имаме:

Отговор:
.

Основна информация от теорията

Определение 4.1.

Полиномът J (x) от p [x] се нарича общ делител Полиномията g (x) и f (x) от p [x], ако f (x) и g (x) са разделени без остатък върху J (x).

Пример 4.1. Дават се два полинома: (х) g (x) \u003d x 4 - 3x 3 - 4x 2 + 2x + 2 î [x]. Общи дивисти на тези полиноми: j 1 (x) \u003d x 3 - 4x 2 + 2 \u003d r [x], j 2 (x) \u003d(x 2 - 2x - 2)-[x], j 3 (x) \u003d(x - 1) r [x], J 4 (x) \u003d1 î r [x]. (Проверка!)

Определение 4.2.

Най-големият общ делител Различни от нулевите полиноми F (x) и g (x) от p [X] се наричат \u200b\u200bтака полином d (x) от p [x], който е техният общ разделител и е разделен на друг общ делител на тези полиноми.

Пример 4.2. За полиноми от Пример 4.1. f (x) \u003d x 4 - 4x 3 + 3x 2 + 2x - 6 î r [x], g (x) \u003d x 4 - 3x 3 - 4x 2 + 2x + 2-[x] най-големият общ разделител ще бъде полином d (x) \u003d J 1 (x) \u003d x 3 - 4x 2 + 2 î r [x], t. към. Това за полиномната D (x) Той е разделен на всички други общи дели J2 (x), J 3 (x), J 4 (x).

Най-големият общ разделител (възел) е посочен от символа:

d (x) = (f (x), g (x)).

Най-големият общ делител съществува за всеки два полинома. f (x), g (x) î p [x] (g (x)№ 0). Неговото съществуване определя алгоритъм Евклидакоето е както следва.

Delim. f (x)на g (x). Остатъка и частна, получена в разделението, ние означаваме r 1 (x) и q 1 (x). Тогава, ако има r 1 (x)¹ 0, Delim g (x) на r 1 (x),получаваме остатъка r2 (x) и частни q 2 (x) и т.н. Степени на подвижни остатъци r1 (x), R2 (x), ... ще намалее. Но последователността на целочислените числа е ограничена до дъното на броя 0. Затова процесът на разделяне ще бъде ограничен и ще стигнем до остатъка r k (x), към които е разделен предишният баланс r K - 1 (x). Целият процес на разделяне може да бъде записан, както следва:

f (x)= g (x) × q 1 (x) + R1 (x), дело r 1 (x)< deg g (x);

g (x)= r 1 (x)× q2 (x) + R2 (x), дело r2 (x) < deg r1 (x);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

r K - 2 (x)= r K - 1 (x)× q k (x) + r k (x), дело r K (x)< deg r K - 1 (x);

r K - 1 (x) = r K (x) × q K +1 (x).(*)

Доказваме това r K (x) Това ще бъде най-големият общ делител на полиноми f (x)и g (x).

1) Ще покажем това r K (x) е общ делител Данни полиноми.

Нека се обърнем към предпоследното равенство:

r K --2 (x)= r K --1 (x)× q k (x) + r k (x), или r K --2 (x)= r K (x) × q K +1 (x) × q k (x) + r K (x).

Дясната му част е разделена на r K (x). Следователно лявата страна също е разделена на r k (x), тези. r K --2 (x)разделена на r K (x).

r K - 3 (x)= r K - 2 (x)× q K - 1 (x) + r K - 1 (x).

Тук r K - 1 (x)и r K - 2 (x)са разделени на r k (x), От това следва, че сумата в дясната част на равенството е разделена на r K (x).Това означава, че лявата част на равенството е разделена на r k (x), тези. r K - 3 (x)разделена на r K (x).Преместването по този начин последователно, ние получаваме тези полиноми f (x)и g (x) са разделени на r K (x). Така показахме това r K (x) е общ делител Данни полиноми (Определение 4.1.).

2) Ще покажем това r K (x) разделена на всеки друг Общ делител j (x) полиноми f (x)и g (x),това е, е най-големият общ делителтези полиноми .

Обърнете се към първото равенство: f (x)= G (x) × q 1 (x) + r1 (x).

Нека бъде d (x) - някакъв общ разделител f (x)и g (x). След това според свойствата на делимостта, разликата f (x)– G (x) × q 1 (x)също разделени от d (x), Това е лявата част на равенството f (x)– G (x) × q 1 (x)= r 1 (x)разделена на d (x). Тогава аз. r 1 (x)ще споделя d (x). Продължаващи разсъждения по подобен начин, последователно спад от равен, ние го получаваме r K (x) разделена на d (x). Тогава, според определение 4.2.r K (x) ще бъде най-големият общ делител полиноми f (x)и g (x): d (x) = (f (x), g (x)) = r K (x).

Най-големият общ разделител на полиноми f (x)и g (x) е единственият с точност на мултипликатора - полином от нулева степен, или може да се каже с точност на сдружаване(Определение 2.2.).

Така ние доказахме теоремата:

Теорема 4.1. / Алгоритъм на Evklida.

Ако за полиноми F (x), g (x) î p [x] (g (x)¹ 0) верн е системата на равенствата и неравенствата(*), последното, не равно на остатъка от нула, ще бъде най-големият общ делител на тези полиноми.

Пример 4.3. Намерете най-големия общ разделител на полиноми

f (x)\u003d x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1 и g (x)\u003d x 3 -2x2 + x -2.

Решение.

1shg.2Shag.

x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1	x 3 -2x 2 + x -2		x 3 -2x 2 + x -2	7x 2 + 7
– (x 4 -2x 3 + x 2 - 2x)	X + 3 \u003d Q 1 (x)	– (x 3 + x)	1 / 7x.-2/7 \u003d Q2 (x)
3x 3 + x 2 + 3x + 1 - ( 3x 3 -6x 2 + 3x -6) \\ t		-2x 2 -2 - ( -2x 2 -2)
7x 2 + 7 \u003d R1 (x)		0 \u003d R2 (x)

Ние записваме стъпките за делене под формата на система от равенства и неравенства, както в (*) :

f (x)= g (x) × Q 1 (x) + R1 (x), deg r 1 (x)< deg g (x);

g (x)= r 1 (x)× q2 (x).

Според Теорема 4.1./ Алгоритъм EUKLIDE / LAST, не е равно на нулевия остатък R1 (x) \u003d 7x 2 + 7 ще бъде най-големият общ делител d (x) Тези полиноми :

(f (x), g (x)) \u003d 7x 2 + 7.

Тъй като разделянето в пръстена на полиномите се определя с точност на асоциацията ( Имот 2.11., след това като възел можете да вземете 7x 2 + 7, но (7x 2 + 7) \u003d x 2 + 1.

Дефиниция 4.3.

Най-големият общ делител с старши коефициент 1 ще бъде наречен нормализиран най-голям общ делител.

Пример 4.4. В пример 4.2. Намерен е най-големият общ разделител. d (x) = (f (x), g (x)) \u003d 7x 2 + 7 полинома f (x)\u003d x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1 и g (x)\u003d x 3 -2x2 + x -2. Замяна на полином, свързан с него d 1 (x) \u003d x 2 + 1, получаваме нормализирания най-голям общ делител на тези полиноми ( f (x), g (x)) \u003d x 2 + 1.

Коментар.Използвайки евклидовия алгоритъм при търсене на най-голям общ разделител на два полинома, можете да направите следното заключение. Най-големият общ разделител на полиноми f (x)и g (x)не зависи от това дали ще обмислим f (x)и g (x)над полето Пс. или над разширяването му P '.

Определение 4.4.

Най-големият общ делител полиноми F 1 (x), F 2 (x), F3 (x), ... F N (x) Î P [x] наречен такъв полином d (x)Î P [x], който е техният общ разделител и е разделен на друг общ делител на тези полиноми.

Тъй като евклидовият алгоритъм е подходящ само за намиране на най-голям общ разделител на два полинома, трябва да докаже следната теорема за търсене на най-големия общ делител N на полиноми.

Евклидовски алгоритъм за полиноми.Алгоритъмът на EUCLID ви позволява да намерите най-големия общ делител на два полинома, т.е. Най-голямата степен, на която е разделена без баланс както на полиномните данни.
Алгоритъмът се основава на факта, че за всеки два полинома от една променлива, е.(х.) I. г.(х.) съществуват такива полиноми q.(х.) I. r.(х.), отнасящи се до частния и остатъка, съответно, че

е.(х.) = г.(х.)∙q.(х.) + r.(х.), (*)

в същото време, степента на остатъка е по-малка от степента на разделител, полином г.(х.), и освен това, според тези полиноми е.(х.) I. г.(х.) Частният и остатъкът определено са. Ако в равенство (*) остатък r.(х.) е равен на нулев полином (нула), тогава те казват, че полином е.(х.) разделена на г.(х.) Няма остатък.
Алгоритъмът се състои от последователно разделение с остатъка, първо от първия даден полином, е.(х.), На второ място, г.(х.):

е.(х.) = г.(х.)∙q. 1 (х.) + r. 1 (х.), (1)

тогава, ако има r. 1 (х.) 0, - втори полином, г.(х.), на първия остатък - върху полином r. 1 (х.):

г.(х.) = r. 1 (х.)∙q. 2 (х.) + r. 2 (х.), (2)

r. 1 (х.) = r. 2 (х.)∙q. 3 (х.) + r. 3 (х.), (3)

тогава, ако има r. 3 (х.) ≠ 0, - вторият остатък на третата:

r. 2 (х.) = r. 3 (х.)∙q. 4 (х.) + r. 4 (х.), (4)

и т.н. Тъй като на всеки етап степента на следващия остатък намалява, процесът не може да продължи безкрайно, така че на някакъв етап определено ще стигнем до ситуацията, когато следващата н. + 1-ви остатък r. н. + 1 е нула:

r. н.–2 (х.) = r. н.–1 (х.)∙ Q. н. (х.) + r. н. (х.),	(н.)
r. н.–1 (х.) = r. н. (х.)∙ Q. н.+1 (х.) + r. н.+1 (х.),	(н.+1)
r. н.+1 (х.) = 0.	(н.+2)

След това последното не е равно на нулевия остатък r. н. И това ще бъде най-големият общ делител на първоначалната двойка полиноми е.(х.) I. г.(х.).
Всъщност, ако се дължи на равенство ( н. + 2) Заменете 0 вместо това r. н. + 1 (х.) в равенство ( н. + 1), след това - полученото равенство r. н. – 1 (х.) = r. н. (х.)∙q. н. + 1 (х.) Вместо r. н. – 1 (х.) - в равенство ( н.) Оказва се, че r. н. – 2 (х.) = r. н. (х.)∙q. н. + 1 (х.) q. н. (х.) + r. н. (х.), т.е. r. н. – 2 (х.) = r. н. (х.)(q. н. + 1 (х.) q. н. (х.) + 1) и т.н. В равенство (2), след заместването, ние го получаваме г.(х.) = r. н. (х.)∙Q.(х.) и накрая, от равенство (1) - какво е.(х.) = r. н. (х.)∙С.(х.), където Q.и С.- някои полиноми. По този начин, r. н. (х.) - общ делител на два полиноми от източника и факта, че е най-големият (т.е. най-голямата възможна степен) следва от процедурата на алгоритъма.
Ако най-големият общ делител на два полиноми не съдържа променлива (т.е. числото), оригиналните полиноми е.(х.) I. г.(х.) Наречен взаимно прост.

Разделяне на полиноми. Алгоритъм Евклида

§Онеене. Разделяне на полиноми

По време на разделянето полиномите се подават в канонична форма и са разположени в намаляващи степени на всяко писмо, спрямо което се определя степента на разделение и разделение. Степента на делимост трябва да бъде по-голяма или равна на степента на разделител.

Резултатът от разделението е единственият двойка полиноми - частният и остатъците, които трябва да бъдат изпълнени с равенството:

< делимое > = < делитель > ´ < частное > + < остаток > .

Ако е полиномна степенn pn (x ) е делима,

Полиномна степенm rk (x ) е разделител (n ³ m)

Полином qn - m (x ) - частно. Степента на този полином е равна на разликата в степените на разделението и разделителя,

И полиномна степенk rk (x ) е остатъкът (к.< m ).

Това равенство

Pn (x) \u003d fm (x) × QN - m (x) + rk (x) (1.1)

тя трябва да бъде еднакво идентична, т.е. остава справедлива за валидни стойности на x.

Още веднъж отразяваме, че степента на равновесиек. трябва да бъде по-малко от степента на разделителм. . Цел на остатъка - Добавете продукта на полиномиFm (x) и qn - m (x ) до полином, равен на delimo.

Ако продуктът от полиномиFM (x) × qn - m (x ) дава полином, равен на разделянето, след това остатъкътR. \u003d 0. В този случай се казва, че разделението се прави без остатък.

Алгоритъмът на разделение на полиномите ще обмисли конкретен пример.

Нека е необходимо да се раздели полиномът (5x5 + x3 + 1) на полином (X3 + 2).

1. Разделяме старши пишка на разделение 5x5 на старши член на разделителя X3:

По-долу ще се покаже, че първият термин е личен.

2. За следващия (първоначално първи), страничните се умножават по делителя и този продукт се приспада от разделението:

5x5 + x3 + 1 - 5x2 (x3 + 2) \u003d x3 - 10x2 + 1.

3. Delimi може да бъде представен като

5x5 + x3 + 1 \u003d 5x2 (x3 + 2) + (x3 - 10x2 +

Ако в действие (2) степента на разлика ще бъде по-голяма или равна на степента на разделител (както в примера), след това с тази разлика, посоченото по-горе действие се повтаря. Където

1. Старшият член на разликата X3 е разделен на старши член на разделителя X3:

По-долу ще се покаже, че това е вторият термин насаме.

2. За следващия (сега, втори) страничните страни се умножават по делителя и този продукт се приспада от последната разлика.

X3 - 10x2 + 1 - 1 × (x3 + 2) \u003d - 10x2 - 1.

3. След това последната разлика може да бъде представена като

X3 - 10x2 + 1 \u003d 1 × (x3 + 2) + (-10x2 +

Ако степента на друга разлика е по-малка от степента на разделителя (както при повтаряне в действие (2)), разделението е завършено с остатъка, равен на последната разлика.

За да потвърдите, че частното е количеството (5x2 + 1), заместваме в равенството (1.2) резултатът от трансформацията на полиномния х3 - 10х2 + 1 (виж (1.3)): 5x5 + x3 + 1 \u003d 5x2 (x3 +) 2) + 1× (x3 + 2) + (- 10x2 - 1). След това, след като направим общ фактор (x3 + 2) за скоби, най-накрая ще получим

5x5 + x3 + 1 \u003d (x3 + 2) (5x2 + 1) + (- 10x2 - 1).

Какво, в съответствие с равенството (1.1), трябва да се разглежда в резултат на разделението на полиномния (5x5 + x3 + 1) на полином (X3 + 2) с частно (5x2 + 1) и остатъка (- 10Х2) - 1).

Тези действия се изваждат под формата на схема, наречена "разделение на ъгъла". В същото време, в протокола за разделяне и последващи различия, е желателно да се произвеждат членове на сумата на всички намаляващи степени на аргумента без прескачане.

размер на шрифта: 14.0pt; линия-височина: 150% "\u003e 5x5 + 0x4 + x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 2

5x5 + 10x2 5x2 + 1

x3 -10x2 + 0x + 1

X3 + 2.

-10x2 + 0x - 1

позиция: роднина; Z-индекс: 1 "\u003e Виждаме, че разделението на полиномите се свежда до последователно повторение на действията:

1) в началото на алгоритъма, старшият член на разделението, по-късно старейшината на следващата разлика е разделена на старши член на разделителя;

2) резултатът от разделението дава следващия мандат в частното лице, което се умножава по делителя. Полученият продукт е написан под делима или следваща разлика;

3) долният полином се изважда от горния полином и ако степента на получаване е по-голяма или равна на степента на разделителя, тогава действията 1, 2, 3 се повтарят с него.

Ако получената степен на разлика е по-малка от степента на разделителя, тогава разделението е завършено. В този случай последната разлика е остатъкът.

Пример №1.

позиция: абсолютен; Z-индекс: 9; наляво: 0px; ляво: 190px; Марж-топ: 0px; ширина: 2px; височина: 27px

4x2 + 0x - 2

4x2 ± 2x ± 2

Така, 6x3 + x2 - 3x - 2 \u003d (2x2 - X - 1) (3x + 2) + 2x.

Пример номер 2.

A3B2 + B5.

A3B2 A2B3.

- A2B3 + B5

± A2B3 ± ab4

AB4 + B5.

- AB4 B5.

По този начин , A5 + B5 \u003d (A + B) (A4 -A3B + A2B2 - AB3 + B4).

Пример №3

позиция: Абсолютен; Z-индекс: 26; наляво: 0px; ляво: 132px; Марж-топ: 24px; Ширина: 194px; Височина: 2px X5 - U5 x -

X5. x4U X4 + X3U + X2U2 + HU3 + U4

X3U2 - U5.

X3U2 ± x2U3.

HU 4 - в 5

HU 4 - в 5

Така, x5 - u5 \u003d (x - y) (x4 + x3U + x2U2 + x3 + U4).

Обобщаването на резултатите, получени в примери 2 и 3, са две формули на съкратено умножение:

(X + A) (X2N - X2N -1 A + X2N -2 A2 - ... + A2N) \u003d X 2N + 1 + A2N + 1;

(X - A) (x 2N + x 2N-1 A + x 2N-2 A2 + ... + A2N) \u003d X 2N + 1 - A2N + 1, където n î Н..

Упражнения

Извършване на действие

1. (- 2x5 + x4 + 2x3 - 4x2 + 2x + 4): (x3 + 2).

Отговор: - 2x2 + x +2 - частни, 0 - остатък.

2. (x4 - 3x2 + 3x + 2): (x - 1).

Отговор: x3 + x2 - 2x + 1-частен, 3 - остатък.

3. (x2 + x5 + x3 + 1): (1 + x + x2).

Отговор: x3 - x2 + x + 1-частен, 2x - остатък.

4. (X4 + X2U2 + U4): (X2 + HU + U2).

Отговор: X2 - HU + U2 - частно, 0 - остатък.

5. (3 + В3 + С3 - 3 ABC): (A + B + с).

Отговор: A 2 - (B + C) A + (B 2 - BC + C 2 ) - Частни, 0 - остатък.

§2. Намиране на най-голям общ разделител на два полинома

1. Алгоритъм Евклида

Ако всеки от двата полинома е разделена без остатък на третото, тогава този трети полином се нарича общ делител на първите две.

Най-големият общ делител (възел) на два полиноми се нарича цялостен делител.

Имайте предвид, че всеки брой неравномерни нула е общ делител на две полиноми. Следователно всеки неравен нулев номер се нарича тривиален общ делител на тези полиноми.

Алгоритъмът на EUCLID предлага поредица от действия, които или води до намиране на възел от две полиномни данни, или показва, че такъв разделител под формата на полиномна или повече не съществува.

Алгоритъмът на евклидея се осъществява като поредица от разделения. В първото разделение полиномът се разглежда по-разглеждан като делик и по-малко - като разделител. Ако полиномите, за които са разположени възлите, имат еднаква степен, тогава разделителят и разделителят са избрани произволно.

Ако със следващото разделение, полиномът в остатъка има степен по-голяма или равна на 1, тогава разделителят става делителен, а остатъкът е разделител.

Ако със следващото разделение на полиномите се получава баланс, равен на нула, тогава се намира възел на тези полиноми. Те са разделител с последната дивизия.

Ако със следващото разделение на полиномите остатъкът се оказва неравномерна нула, след това няма възел за тези полиноми в допълнение към тривиалното.

Пример №1.

Намаляване на фракцията .

Решение

Ние откриваме възела на тези полиноми, използвайки евклидовия алгоритъм

1) x3 + 6x2 + 11x + 6 x3 + 7x2 + 14x + 8

X3 + 7x2 + 14x + 8 1

- X2 - 3 - 2

позиция: Абсолютен; Z-индекс: 37; наляво: 0px; ляво: 182px; Марж-топ: 28px; ширина: 121px; височина: 2px2) x3 + 7x2 + 14x + 8 - x2 - 3x - 2

X3 + 3x2 + 2x - X - 4

3x2 + 9x + 6

3x2 + 9x + 6

По този начин,

позиция: Абсолютен; Z-индекс: 49; наляво: 0px; ляво: 209px; Марж-топ: 6px; ширина: 112px; височина: 20px размер на шрифта: 14.0pt; Височина на линия: 150% "\u003e Отговор: Размер на шрифта: 14.0pt; Височина на линия: 150% "\u003e 2. възможностите за опростяване на изчисленията на възела в евклидовия алгоритъм

Теорема

При размножаване на разделянето, броят не е равен на нула, частният и остатъкът се умножи по същия брой.

Доказателства

Нека p да бъде делимо, f - разделител, q - частен, r - Баланс. Тогава,

P \u003d f × q + r.

Умножаване на тази идентичност за номераа ¹ 0, ние получаваме

a p \u003d f × (a q) + a r,

където полином a p може да се счита за делима и полиномиq и R - като частни и остатъци, получени в разделението на полиномa p на полином f . По този начин, когато се разделят на разделянето¹. 0, частни и остатъци също се умножават доа, h. и т.н.

Следствие

Умножаване на разделителя по номер¹. 0 може да се разглежда като умножение на делима по номер.

Следователно, когато се умножи разделителя по брой¹. 0 частни и остатъкът се умножи по.

Пример номер 2.

Намерете частен Q и остатък R При разделяне на полиноми

Размер на шрифта: 14.0pt; Височина на линия: 150% "\u003e Решение

Да включите разделение и разделител на цели коефициенти на размножаване, което ще доведе до умножение от 6 от търсените частниQ и остатъци r . След това умножете разделителя на 5, което ще доведе до умножение на частни 6Q и остатък 6 r на . В резултат на това частният и остатъкът, получен в разделението на полиномите с цяло число коефициенти, ще се различават по време от търсените стойности на частнотоQ и остатъци r получени чрез разделяне на тези полиноми.

12U4 - 22H3 + 18x2U2 - 11x3U + 3x4 2OW2 - 3H + 5x2

12U4 ± 18h3. 30x2U2 6U2 - 2H - 9x2 \u003d

- 4H3 - 12x2U2 - 11x3U + 3x4

± 4H3 6x2U2 ± 10x3U

- 18x2U2 - X3U + 3x4

± 18x2U2 27X3U ± 45x4

- 28x3U + 48x4 \u003d шрифт: 14.0pt, височина: 150% "\u003e следователно;

Отговор: , .

Обърнете внимание, че ако най-големият обща разделител на данни е намерен, след това го умножават на всеки номер, не е равен на нула, ние също получаваме най-големия дивизор на тези полиноми. Това обстоятелство дава възможност за опростяване на изчисленията в алгоритъма на евклидея. А именно преди следващото разделение, разделянето или разделителят може да се умножи по числата, избрани по специален начин, така че коефициентът на първия мандат в частния човек да е бил цяло число. Както е показано по-горе, размножаването на разделението и разделянето ще доведе до подходяща промяна в частния остатък, но така, че в резултат на това възел на тези полиноми се умножава до някакъв равен нулев номер, който е допустим.

Пример номер 3.

Намаляване на фракцията .

Решение

Използвайки алгоритъма на евклидо, получаваме

позиция: абсолютен; Z-индекс: 59; ляво: 0px; ляво: 220px; Марж-топ: 27px; ширина: 147px; височина: 2px1) x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2 x4 + x3 - 3x2 + 4

X4 x3 ± 3x2 размер на шрифта: 14.0pt; Височина на линията: 150% "\u003e 4 1

2x3 + 6x2 + 3x - 2

размер на шрифта: 14.0pt; Височина на линията: 150% "\u003e 2) 2 (x4 + x3 - 3x2 + 4) \u003d 2x4 + 2x3 - 6x2 + 8 2x3 + 6x2 + 3x - 2

2x4 6x3 3x2 ± 2 x - 2

- 4x3 - 9x2 + 2x + 8

± 4x3 ± 12x2 ± 6x размер на шрифта: 14.0pt; Височина на линията: 150% "\u003e 4

3x2 + 8x + 4

3) 3 (2x3 + 6x2 + 3x - 2) \u003d 6x3 + 18x2 + 9x - 6 3x2 + 8x + 4

6x3 размер на шрифта: 14.0pt "\u003e 16x2 размер на шрифта: 14.0pt"\u003e 8x 2x +