10.4. Закон сохранения энергии при гармонических колебаниях

10.4.1. Сохранение энергии при механических гармонических колебаниях

Сохранение энергии при колебаниях математического маятника

При гармонических колебаниях полная механическая энергия системы сохраняется (остается постоянной).

Полная механическая энергия математического маятника

E = W k + W p ,

где W k - кинетическая энергия, W k = = mv 2 /2; W p - потенциальная энергия, W p = mgh ; m - масса груза; g - модуль ускорения свободного падения; v - модуль скорости груза; h - высота подъема груза над положением равновесия (рис. 10.15).

При гармонических колебаниях математический маятник проходит ряд последовательных состояний, поэтому целесообразно рассмотреть энергию математического маятника в трех положениях (см. рис. 10.15):

Рис. 10.15

1) в положении равновесия

потенциальная энергия равна нулю; полная энергия совпадает с максимальной кинетической энергией:

E = W k max ;

2) в крайнем положении (2 ) тело поднято над исходным уровнем на максимальную высоту h max , поэтому потенциальная энергия также максимальна:

W p max = m g h max ;

кинетическая энергия равна нулю; полная энергия совпадает с максимальной потенциальной энергией:

E = W p max ;

3) в промежуточном положении (3 ) тело обладает мгновенной скоростью v и поднято над исходным уровнем на некоторую высоту h , поэтому полная энергия представляет собой сумму

E = m v 2 2 + m g h ,

где mv 2 /2 - кинетическая энергия; mgh - потенциальная энергия; m - масса груза; g - модуль ускорения свободного падения; v - модуль скорости груза; h - высота подъема груза над положением равновесия.

При гармонических колебаниях математического маятника полная механическая энергия сохраняется:

E = const.

Значения полной энергии математического маятника в трех его положениях отражены в табл. 10.1.

Значения полной механической энергии, представленные в последнем столбце табл. 10.1, имеют равные значения для любых положений маятника, что является математическим выражением :

m v max 2 2 = m g h max ;

m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h ;

m g h max = m v 2 2 + m g h ,

где m - масса груза; g - модуль ускорения свободного падения; v - модуль мгновенной скорости груза в положении 3 ; h - высота подъема груза над положением равновесия в положении 3 ; v max - модуль максимальной скорости груза в положении 1 ; h max - максимальная высота подъема груза над положением равновесия в положении 2 .

Угол отклонения нити математического маятника от вертикали (рис. 10.15) определяется выражением

cos α = l − h l = 1 − h l ,

где l - длина нити; h - высота подъема груза над положением равновесия.

Максимальный угол отклонения α max определяется максимальной высотой подъема груза над положением равновесия h max:

cos α max = 1 − h max l .

Пример 11. Период малых колебаний математического маятника равен 0,9 с. На какой максимальный угол от вертикали будет отклоняться нить, если, проходя положение равновесия, шарик движется со скоростью, равной 1,5 м/с? Трение в системе отсутствует.

Решение . На рисунке показаны два положения математического маятника:

• положение равновесия 1 (характеризуется максимальной скоростью шарика v max);
• крайнее положение 2 (характеризуется максимальной высотой подъема шарика h max над положением равновесия).

Искомый угол определяется равенством

cos α max = l − h max l = 1 − h max l ,

где l - длина нити маятника.

Максимальную высоту подъема шарика маятника над положением равновесия найдем из закона сохранения полной механической энергии.

Полная энергия маятника в положении равновесия и в крайнем положении определяется следующими формулами:

• в положении равновесия -

E 1 = m v max 2 2 ,

где m - масса шарика маятника; v max - модуль скорости шарика в положении равновесия (максимальная скорость), v max = 1,5 м/с;

• в крайнем положении -

E 2 = mgh max ,

где g - модуль ускорения свободного падения; h max - максимальная высота подъема шарика над положением равновесия.

Закон сохранения полной механической энергии:

m v max 2 2 = m g h max .

Выразим отсюда максимальную высоту подъема шарика над положением равновесия:

h max = v max 2 2 g .

Длину нити определим из формулы для периода колебаний математического маятника

T = 2 π l g ,

т.е. длина нити

l = T 2 g 4 π 2 .

Подставим h max и l в выражение для косинуса искомого угла:

cos α max = 1 − 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

и произведем вычисление с учетом приблизительного равенства π 2 = 10:

cos α max = 1 − 2 ⋅ 10 ⋅ (1,5) 2 10 2 ⋅ (0,9) 2 = 0,5 .

Отсюда следует, что максимальный угол отклонения составляет 60°.

Строго говоря, при угле 60° колебания шарика не являются малыми и пользоваться стандартной формулой для периода колебаний математического маятника неправомерно.

Сохранение энергии при колебаниях пружинного маятника

Полная механическая энергия пружинного маятника складывается из кинетической энергии и потенциальной энергии:

E = W k + W p ,

где W k - кинетическая энергия, W k = mv 2 /2; W p - потенциальная энергия, W p = k (Δx ) 2 /2; m - масса груза; v - модуль скорости груза; k - коэффициент жесткости (упругости) пружины; Δx - деформация (растяжение или сжатие) пружины (рис. 10.16).

В Международной системе единиц энергия механической колебательной системы измеряется в джоулях (1 Дж).

При гармонических колебаниях пружинный маятник проходит ряд последовательных состояний, поэтому целесообразно рассмотреть энергию пружинного маятника в трех положениях (см. рис. 10.16):

1) в положении равновесия (1 ) скорость тела имеет максимальное значение v max , поэтому кинетическая энергия также максимальна:

W k max = m v max 2 2 ;

потенциальная энергия пружины равна нулю, так как пружина не деформирована; полная энергия совпадает с максимальной кинетической энергией:

E = W k max ;

2) в крайнем положении (2 ) пружина имеет максимальную деформацию (Δx max), поэтому потенциальная энергия также имеет максимальное значение:

W p max = k (Δ x max) 2 2 ;

кинетическая энергия тела равна нулю; полная энергия совпадает с максимальной потенциальной энергией:

E = W p max ;

3) в промежуточном положении (3 ) тело обладает мгновенной скоростью v , пружина имеет в этот момент некоторую деформацию (Δx ), поэтому полная энергия представляет собой сумму

E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,

где mv 2 /2 - кинетическая энергия; k (Δx ) 2 /2 - потенциальная энергия; m - масса груза; v - модуль скорости груза; k - коэффициент жесткости (упругости) пружины; Δx - деформация (растяжение или сжатие) пружины.

При смещении груза пружинного маятника от положения равновесия на него действует возвращающая сила , проекция которой на направление движения маятника определяется формулой

F x = −kx ,

где x - смещение груза пружинного маятника от положения равновесия, x = ∆x , ∆x - деформация пружины; k - коэффициент жесткости (упругости) пружины маятника.

При гармонических колебаниях пружинного маятника полная механическая энергия сохраняется:

E = const.

Значения полной энергии пружинного маятника в трех его положениях отражены в табл. 10.2.

Значения полной механической энергии, представленные в последнем столбце таблицы, имеют равные значения для любых положений маятника, что является математическим выражением закона сохранения полной механической энергии :

m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2 ;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,

где m - масса груза; v - модуль мгновенной скорости груза в положении 3 ; Δx - деформация (растяжение или сжатие) пружины в положении 3 ; v max - модуль максимальной скорости груза в положении 1 ; Δx max - максимальная деформация (растяжение или сжатие) пружины в положении 2 .

Пример 12. Пружинный маятник совершает гармонические колебания. Во сколько раз его кинетическая энергия больше потенциальной в тот момент, когда смещение тела из положения равновесия составляет четверть амплитуды?

Решение . Сравним два положения пружинного маятника:

• крайнее положение 1 (характеризуется максимальным смещением груза маятника от положения равновесия x max);
• промежуточное положение 2 (характеризуется промежуточными значениями смещения от положения равновесия x и скорости v →).

Полная энергия маятника в крайнем и промежуточном положениях определяется следующими формулами:

• в крайнем положении -

E 1 = k (Δ x max) 2 2 ,

где k - коэффициент жесткости (упругости) пружины; ∆x max - амплитуда колебаний (максимальное смещение от положения равновесия), ∆x max = A ;

• в промежуточном положении -

E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 ,

где m - масса груза маятника; ∆x - смещение груза от положения равновесия, ∆x = A /4.

Закон сохранения полной механической энергии для пружинного маятника имеет следующий вид:

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 .

Разделим обе части записанного равенства на k (∆x ) 2 /2:

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,

где W k - кинетическая энергия маятника в промежуточном положении, W k = mv 2 /2; W p - потенциальная энергия маятника в промежуточном положении, W p = k (∆x ) 2 /2.

Выразим из уравнения искомое отношение энергий:

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 − 1

и рассчитаем его значение:

W k W p = (A A / 4) 2 − 1 = 16 − 1 = 15 .

В указанный момент времени отношение кинетической и потенциальной энергий маятника равно 15.

Исследование колебаний маятника проводится на установке, схема которой приведена на рис.5. Установка состоит из пружинного маятника, системы регистрации колебаний на основе пьезоэлектрического датчика, системы возбуждения вынужденных колебаний, а также системы обработки информации на персональном компьютере. Исследуемый пружинный маятник состоит из стальной пружины с коэффициентом жесткости k и тела маятника m , в центре которого вмонтирован постоянный магнит. Движение маятника происходит в жидкости и при небольших скоростях колебаний возникающая сила трения может быть с достаточной точностью аппроксимирована линейным законом, т.е.

Рис.5 Блок-схема экспериментальной установки

Для увеличения силы сопротивления при движении в жидкости, тело маятника изготовлено в виде шайбы с отверстиями. Для регистрации колебаний используется пьезоэлектрический датчик, к которому подвешена пружина маятника. Во время движения маятника сила упругости пропорциональна смещению х ,
Так как ЭДС, возникающая в пьезодатчике в свою очередь пропорциональна силе давления, то сигнал, получаемый с датчика будет пропорционален смещению тела маятника от положения равновесия.
Возбуждение колебаний осуществляется с помощью магнитного поля. Гармонический сигнал, создаваемый ПК усиливается и подается на катушку возбуждения, расположенную под телом маятника. В резултате этого катушки образуется переменное во времени и неоднородное в пространстве магнитное поле. Это поле действует на постоянный магнит, вмонтированный в тело маятника и создает внешнюю периодическую силу. При движении тела вынуждающую силу можно представить в виде суперпозиции гармонических функций , и колебания маятника будут являться суперпозицией колебаний с частотами mw. Однако заметное влияние на движение маятника будет оказывать лишь составляющая силы на частоте w , так как она наиболее близка к резонансной частоте. Поэтому амплитуды составляющих колебаний маятника на частотах mw будут малы. То есть в случае произвольного периодического воздействия колебания с большой степенью точности можно считать гармоническими на частоте w .
Система обработки информации состоит из аналого-цифрового преобразователя и персонального компьютера. Аналоговый сигнал с пьезоэлектрического датчика с помощью аналоге-цифрового преобразователя представляется в цифровом виде и подается на персональном компьютере.

Управление экспериментальной установкой с помощью ЭВМ
После включения компьютера и загрузки программы на экране мо- нитора появляется основное меню, общий вид которого показан на рис.5. Используя клавиши управления курсором , , , , можно выбрать один из пунктов меню. После нажатия кнопки ENTER компьютер приступает к выполнению выбранного режима работы. Простейшие подсказки по выбранному режиму работы содержатся в выделенной строке внизу экрана.
Рассмотрим возможные режимы работы программы:
Статика - этот пункт меню используется для обработки результатов первого упражнения (см. рис.5) После нажатия на кнопку ENTER компьютер запрашивает массу груза маятника. После следующего нажатия кнопки ENTER на экране появляется новая картинка с мигающим курсором. Последовательно записывают на экране массу груза в граммах и, после нажатия пробела, величину растяжения пружины. Нажав на ENTER переходят на новую строку и снова записывают массу груза и величину растяжения пружины. Допускается редактирование данных в пределах последней строки. Для этого нажав клавишу Backspase удаляют неправильное значение массы или растяжения пружины и записывают новое значение. Для изменения данных в других строках необходимо последовательно нажать Esc и ENTER , а затем повторить набор результатов.
После набора данных нажимают на функциональную клавишу F2 . На экране появляются расчитанные с помощью метода наименьших квадратов значения коэффициента жесткости пружины и частоты свободных колебаний маятника. После нажатия на ENTER на экране монитора появляется график зависимости упругой силы от величины расрастяжения пружины. Возврат в основное меню происходит после нажатия любой клавиши.
Эксперимент - этот пункт имеет несколько подпунктов (рис.6). Рассмотрим особенности работы каждого из них.
Частота - в этом режиме с помощью клавиш управления курсором осуществляется задание частоты вынуждающей силы. В том случае, если проводится эксперимент со свободными колебаниями, то необходимо установить значение частоты равное 0 .
Старт - в этом режиме после нажатия кнопки ENTER программа начинает снимать экспериментальную зависимость отклонения маятника от времени. В том случае, когда частота вынуждающей силы равна нулю, на экране появляется картина затухающих колебаний. В отдельном окошке записываются значения частоты колебаний и постоянной затухания. Если частота возбуждающей силы не равна нулю, то наряду с графиками зависимостей отклонения маятника и вынуждающей силы от времени на экране в отдельных окошках записываются значения частоты вынуждающей силы и ее амплитуды, а также измеренных частоты и амплитуды колебаний маятника. Нажав на клавишу Esc можно выйти в основное меню.
Сохранить - если результат эксперимента удовлетворителен, то его можно сохранить, нажав на соответствующую клавишу меню.
Нов. Серия - этот пункт меню используется в том случае, если возникла необходимость отказаться от данных текущего эксперимента. После нажатия клавиши ENTER в этом режиме из памяти машины стираются результаты всех предыдущих экспериментов, и можно начать новую серию измерений.
После проведения эксперимента переходят в режим Измерения . Этот пункт меню имеет несколько подпунктов (рис.7)
График АЧХ - этот пункт меню используется после окончания эксперимента по изучению вынужденных колебаний. На экране монитора строится амллитудно-частотная характеристика вынужденных колебаний.
График ФЧХ - В этом режиме после окончания эксперимента по изучению вынужденных колебаний на экране монитора строится фазочастотная характеристика.
Таблица - этот пункт меню позволяет выдать на экран монитора значения амплитуды и фазы колебаний в зависимости от частоты вынуждающей силы. Эти данные переписываются в тетрадь для отчета по данной работе.
Пункт меню компьютера Выход - окончание работы программы (см. например, рис. 7)

Упражнение 1. Определение коэффициента жесткости пружины статическим методом.

Измерения проводятся путем определения удлинения пружины под действием грузов с известными массами. Рекомендуется провести не менее 7-10 измерений удлинения пружины постепенно подвешивая грузы и изменяя тем самым нагрузку от 20 до 150 г. Используя пункт меню работы программы Статистика результаты этих измерений заносят в память компьютера и определяют коэффициент жесткости пружины используя метод наименьших квадратов. В ходе выполнения упражнения необходимо расчитать значение собственной частоты колебаний маятника

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению (см. §2.1):

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими .

Таким образом, груз некоторой массы m , прикрепленный к пружине жесткости k , второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную совершать в отсутствие трения свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором .

Круговая частота ω 0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона :

При горизонтальном расположении системы пружина-груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x 0 , равную

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде

Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний . Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω 0 или период T . Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда x m и начальная фаза φ 0 , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δl и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то x m = Δl , φ 0 = 0.

Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость ± υ 0 , то ,

Таким образом, амплитуда x m свободных колебаний и его начальная фаза φ 0 определяются начальными условиями .

Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол θ возникает момент сил M упр упругой деформации кручения:

где I = I C - момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, ε - угловое ускорение.

По аналогии с грузом на пружине можно получить:

Свободные колебания. Математический маятник

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити . При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести F τ = -mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l , то его угловое смещение будет равно φ = x / l . Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:

Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x , а

Только в случае малых колебаний , когда приближенно можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором, т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15-20°; при этом величина отличается от не более чем на 2 %. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.

Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде

Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника .

Следовательно,

Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения О на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:

и второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид (см. §1.23)

Здесь ω 0 - собственная частота малых колебаний физического маятника .

Следовательно,

Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде

Окончательно для круговой частоты ω 0 свободных колебаний физического маятника получается выражение:

Превращения энергии при свободных механических колебаниях

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на пружине потенциальная энергия - это энергия упругих деформаций пружины. Для математического маятника - это энергия в поле тяготения Земли.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по закону инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.

Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной.

Для груза на пружине (см. §2.2):

В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими (рис. 2.4.2).

Скорость затухания колебаний зависит от величины сил трения. Интервал времени τ, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раз, называется временем затухания .

Частота свободных колебаний зависит от скорости затухания колебаний. При возрастании сил трения собственная частота уменьшается. Однако, изменение собственной частоты становится заметным лишь при достаточно больших силах трения, когда собственные колебания быстро затухают.

Важной характеристикой колебательной системы, совершающей свободные затухающие колебания, является добротность Q . Этот параметр определяется как число N полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ, умноженное на π:

Таким образом, добротность характеризует относительную убыль энергии колебательной системы из-за наличия трения на интервале времени, равном одному периоду колебаний.

Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными .

Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω 0 .

Если свободные колебания происходят на частоте ω 0 , которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы .

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Δt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе.

В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса - вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω 0 . Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы.

Рассмотрим в качестве примера вынужденные колебания тела на пружине (рис. 2.5.1). Внешняя сила приложена к свободному концу пружины. Она заставляет свободный (левый на рис. 2.5.1) конец пружины перемещаться по закону

Если левый конец пружины смещен на расстояние y , а правый - на расстояние x от их первоначального положения, когда пружина была недеформирована, то удлинение пружины Δl равно:

В этом уравнении сила, действующая на тело, представлена в виде двух слагаемых. Первое слагаемое в правой части - это упругая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия (x = 0). Второе слагаемое - внешнее периодическое воздействие на тело. Это слагаемое и называют вынуждающей силой .

Уравнению, выражающему второй закон Ньютона для тела на пружине при наличии внешнего периодического воздействия, можно придать строгую математическую форму, если учесть связь между ускорением тела и его координатой: Тогда запишется в виде

Уравнение (**) не учитывает действия сил трения. В отличие от уравнения свободных колебаний (*) (см. §2.2) уравнение вынужденных колебаний (**) содержит две частоты - частоту ω 0 свободных колебаний и частоту ω вынуждающей силы.

Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону

Амплитуда вынужденных колебаний x m и начальная фаза θ зависят от соотношения частот ω 0 и ω и от амплитуды y m внешней силы.

На очень низких частотах, когда ω << ω 0 , движение тела массой m , прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x (t ) = y (t ), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при ω << ω 0 стремится к нулю.

Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω 0 , возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом . Зависимость амплитуды x m вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис. 2.5.2).

При резонансе амплитуда x m колебания груза может во много раз превосходить амплитуду y m колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.

У колебательных систем с не очень высокой добротностью (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.

Вынужденные колебания - это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными , а процесс незатухающих колебаний в таких системах - автоколебаниями . В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента - колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).

Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис. 2.5.3 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.

Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 2.5.4). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник - балансиром - маховичком, скрепленным со спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир.

Источником энергии - поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод. Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.

Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.

Рисунок 2.5.4. Часовой механизм с маятником.

Тела под действием силы упругости, потенциальная энергия которой пропорциональна квадрату смещения тела из положения равновесия:

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии изменяются периодически. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на горизонтально расположенной пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.

Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной.

Для груза на пружине:

Запуск колебательного движения тела осуществляется с помощью кнопки Старт . Остановить процесс в любой момент времени позволяет кнопка Стоп .

Графически показано соотношение между потенциальной и кинетической энергиями при колебаниях в любой момент времени. Обратите внимание, что в отсутствие затухания полная энергия колебательной системы остается неизменной, потенциальная энергия достигает максимума при максимальном отклонении тела от положения равновесия, а кинетическая энергия принимает максимальное значение при прохождении тела через положение равновесия.

Что такое период колебаний? Что это за величина, какой физический смысл она имеет и как ее рассчитать? В этой статье мы разберемся с этими вопросами, рассмотрим различные формулы, по которым можно рассчитать период колебаний, а также выясним, какая связь имеется между такими физическими величинами, как период и частота колебаний тела/системы.

Определение и физический смысл

Периодом колебаний называется такой промежуток времени, при котором тело или система совершают одно колебание (обязательно полное). Параллельно можно отметить параметр, при выполнении которого колебание может считаться полным. В роли такого условия выступает возвращение тела в его первоначальное состояние (к первоначальной координате). Очень хорошо проводится аналогия с периодом функции. Ошибочно, кстати, думать, что она имеет место исключительно в обыкновенной и высшей математике. Как известно, эти две науки неразрывно связаны. И с периодом функций можно столкнуться не только при решении тригонометрических уравнений, но и в различных разделах физики, а именно речь идет о механике, оптике и прочих. При переносе периода колебаний из математики в физику под ним нужно понимать просто физическую величину (а не функцию), которая имеет прямую зависимость от проходящего времени.

Какие бывают колебания?

Колебания подразделяются на гармонические и ангармонические, а также на периодические и непериодические. Логично было бы предположить, что в случае гармонических колебаний они совершаются согласно некоторой гармонической функции. Это может быть как синус, так и косинус. При этом в деле могут оказаться и коэффициенты сжатия-растяжения и увеличения-уменьшения. Также колебания бывают затухающими. То есть, когда на систему действует определенная сила, которая постепенно “тормозит” сами колебания. При этом период становится меньше, в то время как частота колебаний неизменно увеличивается. Очень хорошо демонстрирует такую вот физическую аксиому простейший опыт с использованием маятника. Он может быть пружинного вида, а также математического. Это неважно. Кстати, период колебаний в таких системах будет определяться разными формулами. Но об этом чуточку позже. Сейчас же приведем примеры.

Опыт с маятниками

Взять первым можно любой маятник, разницы никакой не будет. Законы физики на то и законы физики, что они соблюдаются в любом случае. Но почему-то больше по душе математический маятник. Если кто-то не знает, что он собой представляет: это шарик на нерастяжимой нити, который крепится к горизонтальной планке, прикрепленной к ножкам (или элементам, которые играют их роль - держать систему в равновесном состоянии). Шарик лучше всего брать из металла, чтобы опыт был нагляднее.

Итак, если вывести такую систему из равновесия, приложить к шару какую-то силу (проще говоря, толкнуть его), то шарик начнет раскачиваться на нити, следуя определенной траектории. Со временем можно заметить, что траектория, по которой проходит шар, сокращается. В то же время шарик начинает все быстрее сновать туда-сюда. Это говорит о том, что частота колебаний увеличивается. А вот время, за которое шарик возвращается в начальное положение, уменьшается. А ведь время одного полного колебания, как мы выяснили ранее, и называется периодом. Если одна величина уменьшается, а другая увеличивается, то говорят об обратной пропорциональности. Вот мы и добрались до первого момента, на основании которого строятся формулы для определения периода колебаний. Если же мы возьмем для проведения пружинный маятник, то там закон будет наблюдаться немного в другом виде. Для того чтобы он был наиболее наглядно представлен, приведем систему в движение в вертикальной плоскости. Чтобы было понятнее, сначала стоило сказать, что собой представляет пружинный маятник. Из названия понятно, что в его конструкции должна присутствовать пружина. И это действительно так. Опять же таки, у нас есть горизонтальная плоскость на опорах, к которой подвешивается пружина определенной длины и жесткости. К ней, в свою очередь, подвешивается грузик. Это может быть цилиндр, куб или другая фигурка. Это может быть даже какой-то сторонний предмет. В любом случае, при выведении системы из положения равновесия, она начнет совершать затухающие колебания. Наиболее четко просматривается увеличение частоты именно в вертикальной плоскости, без всякого отклонения. На этом с опытами можно закончить.

Итак, в их ходе мы выяснили, что период и частота колебаний это две физические величины, которые имеют обратную зависимость.

Обозначение величин и размерности

Обычно период колебаний обозначается латинской буквой T. Гораздо реже он может обозначаться по-другому. Частота же обозначается буквой µ (“Мю”). Как мы говорили в самом начале, период это не что иное, как время, за которое в системе происходит полное колебание. Тогда размерностью периода будет секунда. А так как период и частота обратно пропорциональны, то размерностью частоты будет единица, деленная на секунду. В записи задач все будет выглядеть таким образом: T (с), µ (1/с).

Формула для математического маятника. Задача №1

Как и в случае с опытами, я решил первым делом разобраться с маятником математическим. Подробно вдаваться в вывод формулы мы не будем, поскольку такая задача поставлена изначально не была. Да и вывод сам по себе громоздкий. Но вот с самими формулами ознакомимся, выясним, что за величины в них входят. Итак, формула периода колебаний для математического маятника имеет следующий вид:

Где l - длина нити, п = 3,14, а g - ускорение свободного падения (9,8 м/с^2). Никаких затруднений формула вызывать не должна. Поэтому без дополнительных вопросов перейдем сразу к решению задачи на определение периода колебания математического маятника. Металлический шар массой 10 грамм подвешен на нерастяжимой нити длиной 20 сантиметров. Рассчитайте период колебания системы, приняв ее за математический маятник. Решение очень простое. Как и во всех задачах по физике, необходимо максимально упростить ее за счет отброса ненужных слов. Они включаются в контекст для того чтобы запутать решающего, но на самом деле никакого веса абсолютно не имеют. В большинстве случаев, разумеется. Здесь можно исключить момент с “нерастяжимой нитью”. Это словосочетание не должно вводить в ступор. А так как маятник у нас математический, масса груза нас интересовать не должна. То есть слова о 10 граммах тоже просто призваны запутать ученика. Но мы ведь знаем, что в формуле масса отсутствует, поэтому со спокойной совестью можем приступать к решению. Итак, берем формулу и просто подставляем в нее величины, поскольку определить необходимо период системы. Поскольку дополнительных условий не было задано, округлять значения будем до 3-его знака после запятой, как и принято. Перемножив и поделив величины, получим, что период колебаний равен 0,886 секунд. Задача решена.

Формула для пружинного маятника. Задача №2

Формулы маятников имеют общую часть, а именно 2п. Эта величина присутствует сразу в двух формулах, но разнятся они подкоренным выражением. Если в задаче, касающейся периода пружинного маятника, указана масса груза, то избежать вычислений с ее применение невозможно, как это было в случае с математическим маятником. Но пугаться не стоит. Вот так выглядит формула периода для пружинного маятника:

В ней m - масса подвешенного к пружине груза, k - коэффициент жесткости пружины. В задаче значение коэффициента может быть приведено. Но если в формуле математического маятника особо не разгуляешься - все-таки 2 величины из 4 являются константами - то тут добавляется 3 параметр, который может изменяться. И на выходе мы имеем 3 переменных: период (частота) колебаний, коэффициент жесткости пружины, масса подвешенного груза. Задача может быть сориентирована на нахождение любого из этих параметров. Вновь искать период было бы слишком легко, поэтому мы немного изменим условие. Найдите коэффициент жесткости пружины, если время полного колебания составляет 4 секунды, а масса груза пружинного маятника равна 200 граммам.

Для решения любой физической задачи хорошо бы сначала сделать рисунок и написать формулы. Они здесь - половина дела. Записав формулу, необходимо выразить коэффициент жесткости. Он у нас находится под корнем, поэтому обе части уравнения возведем в квадрат. Чтобы избавиться от дроби, умножим части на k. Теперь оставим в левой части уравнения только коэффициент, то есть разделим части на T^2. В принципе, задачку можно было бы еще немного усложнить, задав не период в числах, а частоту. В любом случае, при подсчетах и округлениях (мы условились округлять до 3-его знака после запятой), получится, что k = 0, 157 Н/м.

Период свободных колебаний. Формула периода свободных колебаний

Под формулой периода свободных колебаний понимают те формулы, которые мы разобрали в двух ранее приведенных задачах. Составляют также уравнение свободных колебаний, но там речь идет уже о смещениях и координатах, а этот вопрос относится уже к другой статье.

1) Прежде чем браться за задачу, запишите формулу, которая с ней связана.

2) Простейшие задачи не требуют рисунков, но в исключительных случаях их нужно будет сделать.

3) Старайтесь избавляться от корней и знаменателей, если это возможно. Записанное в строчку уравнение, не имеющее знаменателя, решать гораздо удобнее и проще.